חבורה אבלית נוצרת סופית – הבדלי גרסאות

בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האברים <math>\ a \in A</math> שעבורם קיים <math>\ 0 \neq n\in \mathbb{Z}</math> כך ש- <math>\ na = 0</math>. אלו ה'''איברים המפותלים''' של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, <math>\ A_{\operatorname{tor}}</math>. אם יש אברים כאלה (פרט ל- 0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה '''מפותלת'''. חבורה '''חסרת פיתול''' היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה <math>\ A/A_{\operatorname{tor}}</math> היא תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות [[איזומורפיזם (מתמטיקה)#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו. יתרה מזו, כל חבורה אבלית ללא פיתול משוכנת בסכום ישר של עותקים של החבורה הציקלית האינסופית.

מאידך, חבורה אבלית עם פיתול סופי (היינו, עם חסם על סדר האיברים) היא סכום ישר של חבורות ציקליות סופיות, ובפרט, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות; באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית מפותלת היא סכום ישר של "חבורות פרימריות", שהן חבורות שבהן הסדר של כל איבר הוא חזקה של אותו מספר ראשוני.