סדר טוב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
<ref> ''' חתך:''' יהי <math> (Q , \le)</math> סדר חלקי ויהי <math> M \subseteq Q</math> נקראת חתך אם לכל <math>c \in M </math> אם <math>\ d < c </math> אז <math> d \in M </math> </ref>
הוא או הקבוצה כולה או קטע התחלי
<ref> '''קטע התחלי (רישא):''' יהי <math> (Q , \le)</math> סדר חלקי ויהי <math> x \in Q</math> נסמן <math> S_x = \left\{y \in Q : y < x \right\}</math> </ref>
. הסדר הטוב מאפשר להשתמש בטכניקה של [[אינדוקציה טרנספיניטית]] על מנת להגדיר או להוכיח תכונות עבור כל אברי הקבוצה. דבר זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג [[אינדוקציה מתמטית|האינדוקציה המתמטית]] הרגילה שמוגדרת רק על [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]].
ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על מחלקת<ref>[[ הפרדוקס_של_בורלי-פורטי | הפרדוקס של בורלי-פורטי]]</ref> הסדרים, תכונות אלה מראות כי מחלקת הסדרים המלאים מסודרת [[סדר_מלא | בסדר מלא]], ביחס לפעולה <math> Q \le P </math> אמ"מ <math> Q \cong P</math> או <math> Q \cong P_x </math>.
לדוגמה, הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים הוא סדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים יש איבר קטן ביותר. לעומת זאת, הסדר של [[מספר שלם|המספרים השלמים]] אינו סדר טוב - לקבוצת כל השלמים אין איבר ראשון, משום שלכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם קטן יותר. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא סדורה היטב.▼
1. '''אי-סימטריות:''' משפט [[משפט_קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור ברנשטיין]] חל גם על סדרים טובים, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את P ב-Q וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את Q ב-P אז הסדרים איזומורפיים.
2. '''השוואתיות:''' כל שני סדרים טובים ניתנים להשוואה, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים, אז או ש <math>\ Q \cong P</math> או ש <math>\ Q \cong P_x </math> (כאשר <math>\ P_x</math> קטע התחלי של P ) או ש <math>\ Q_y \cong P </math> (כאשר <math>\ Q_y</math> קטע התחלי של Q).
איפיון לקבוצה מסודרת היטב:▼
3.''' רפלקסיביות:''' תכונה זו מתקיימת באופן טרוייאלי באמצעות [[פונקציית_הזהות | פונקציית הזהות.]]
טענה: <math> (Q , \le) </math> מסודרת היטב אמ"מ אין בה סדרה אינסופית יורדת. ▼
4. '''טרנזטיביות :''' לפי אופן הרכבת פונקציות איזומורפיות אם <math> (M , \le)</math> <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים ו <math>\ f : Q \rightarrow P </math> <math>\ g : P \rightarrow M </math> איזומורפיזמים, אז גם <math>\ g \circ f : Q \rightarrow M </math> איזומורפיזם ולכן אם <math>Q \le P </math> וגם <math>P \le M </math> אז <math>Q \le M</math>.
יותר מכך כל תת קבוצה של מחלקת הסדרים מסודרת בסדר טוב, כלומר קיים איבר ראשון בסדר <math> \le </math> כפי שהוגדר לעיל.
כיוון ראשון : נניח ש- Q לא מסודרת היטב ונבנה סדרה אינסופית יודרת. Q לא מסודרת היטב פירושו שקיימת תת קבוצה P לא ריקה שאין בה איבר ראשון, נבחר איבר <math>\ p_0</math> האיבר <math>▼
▲
▲'''טענה:''' <math> (Q , \le) </math> מסודרת היטב אמ"מ אין בה סדרה אינסופית יורדת.
▲'''הוכחת כיוון ראשון :''' נניח ש- Q לא מסודרת היטב ונבנה סדרה אינסופית יודרת. Q לא מסודרת היטב פירושו שקיימת תת קבוצה P לא ריקה שאין בה איבר ראשון, נבחר איבר <math>\ p_0</math> האיבר <math>
p_0</math> הוא לא הראשון ולכן קיים <math>
p_1</math> כך ש <math>\ p_0 > p_1</math>, אבל גם <math>\ p_1</math> הוא לא האיבר הקטן ביותר בקבוצה ולכן קיים <math>\ p_2</math> כך ש
<math>\ p_0 > p_1 > p_2 </math> ונמשיך בבניה הזו לכל <math>p_n , n \in N </math> וזו סדרה אינסופית יורדת.
'''הוכחת כיוון שני:''' ננית שקיימת סדרה אינסופית יורדת ונראה ש-Q לא מסודרת היטב. נגדיר קבוצה P שמכילה את כל אברי הסדרה היורדת ורק אותם, ולכן P היא מהצורה <math> P = \left\{p_0 > p_1 > p_2 > p_3 ...\right\}</math> ובתת קבוצה זו אין איבר ראשון, ולכן Q מכילה קבוצה שאין לה איבר ראשון ולכן Q לא מסודרת היטב.
| |||