סדר טוב – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Eliadtsai (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
סדר טוב?
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''סדר טוב''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הוא [[סדר מלא]] שבו לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. בקבוצההסדר סדורההטוב היטב,מאפשר לכללהשתמש איברבטכניקה של [[אינדוקציה טרנספיניטית]] על מנת להגדיר או להוכיח תכונות עבור כל אברי הקבוצה. דבר זה מהווה [[הכללה (פרטמתמטיקה)|הכללה]] של מושג ל[[מקסימוםאינדוקציה מתמטית|איברהאינדוקציה המקסימליהמתמטית]], אםהרגילה יששמוגדרת כזה)רק ישעל איבר[[מספר עוקבטבעי|המספרים מיידיהטבעיים]].
 
<ref> '''עוקב מיידי :''' יהי <math> (Q , \le)</math> סדר כלשהו ויהיו <math> x,y \in Q</math> איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math> ואם אין איבר <math>z \in Q</math> כך ש <math>\ y > z > x </math> </ref> וכל חתך
דוגמא לסדר טוב, הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים הוא סדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים יש איבר קטן ביותר. לעומת זאת, הסדר של [[מספר שלם|המספרים השלמים]] אינו סדר טוב - לקבוצת כל השלמים אין איבר ראשון, משום שלכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם קטן יותר. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא סדורה היטב.
<ref> ''' חתך:''' יהי <math> (Q , \le)</math> סדר חלקי ויהי <math> M \subseteq Q</math> נקראת חתך אם לכל <math>c \in M </math> אם <math>\ d < c </math> אז <math> d \in M </math> </ref>
 
הטענה "כל קבוצה ניתן לסדר באמצעות סדר טוב", הקרויה [[משפט הסדר הטוב]], שקולה ל[[אקסיומת הבחירה]] ול[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. עם זאת, בעוד שאקסיומת הבחירה נחשבת סבירה מבחינה אינטואיטיבית, משפט הסדר הטוב מציב קשיים לא מבוטלים. למשל, קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] אמורה להיות ניתנת לסידור טוב, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה. (הסדר הרגיל על המספרים הממשיים בוודאי אינו טוב: בקבוצת המספרים הגדולים מאפס אין איבר מינימלי).
 
בקבוצה סדורה היטב, לכל איבר (פרט ל[[מקסימום|איבר המקסימלי]], אם יש כזה) יש איבר עוקב מיידי
<ref>
<ref> '''עוקב מיידי :''' יהי <math> (Q , \le)</math> סדר כלשהו ויהיו <math> x,y \in Q</math> איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math> ואם אין איבר <math>z \in Q</math> כך ש <math>\ y > z > x </math> </ref> וכל חתך
</ref>
וכל חתך
<ref>
<ref>תת-קבוצה M היא ''' חתך:''' יהישל <math> (Q , \le)</math> סדר חלקי ויהי <math> M \subseteq Q</math> נקראת חתך אם לכל <math>c \in M </math>, אם <math>\ d < c </math> אז <math> d \in M </math> </ref>
</ref>
הוא או הקבוצה כולה או קטע התחלי
<ref> '''קטע התחלי (רישא):''' יהיהוא קבוצה <math> (Q , \le)</math> סדר חלקי ויהי <math> x \in Q</math> נסמן מהצורה <math> S_x = \left\{y \in Q : y < x \right\}</math> </ref>
</ref>.
. הסדר הטוב מאפשר להשתמש בטכניקה של [[אינדוקציה טרנספיניטית]] על מנת להגדיר או להוכיח תכונות עבור כל אברי הקבוצה. דבר זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג [[אינדוקציה מתמטית|האינדוקציה המתמטית]] הרגילה שמוגדרת רק על [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]].
 
== מחלקת הקבוצות הסדורות היטב ==
 
ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על מחלקת<ref>[[ הפרדוקס_של_בורלי-פורטי | הפרדוקס של בורלי-פורטי]]</ref> הסדרים,. תכונות אלה מראות כי מחלקת הסדרים המלאים מסודרת [[סדר_מלא | בסדר מלא]], ביחס לפעולה <math> Q \le P </math> אמ"מ <math> Q \cong P</math> או <math> Q \cong P_x </math>.
 
1. '''אי-סימטריות:''' משפט [[משפט_קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור ברנשטיין]] חל גם על סדרים טובים, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את P ב-Q וניתן [[פונקציה_שומרת_סדר|לשכן]] את Q ב-P אז הסדרים איזומורפיים.
שורה 17 ⟵ 30:
 
יותר מכך כל תת קבוצה של מחלקת הסדרים מסודרת בסדר טוב, כלומר קיים איבר ראשון בסדר <math> \le </math> כפי שהוגדר לעיל.
 
 
דוגמא לסדר טוב, הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים הוא סדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים יש איבר קטן ביותר. לעומת זאת, הסדר של [[מספר שלם|המספרים השלמים]] אינו סדר טוב - לקבוצת כל השלמים אין איבר ראשון, משום שלכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם קטן יותר. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא סדורה היטב.
 
 
== איפיון לקבוצה מסודרת היטב ==
שורה 33 ⟵ 42:
'''הוכחת כיוון שני:''' ננית שקיימת סדרה אינסופית יורדת ונראה ש-Q לא מסודרת היטב. נגדיר קבוצה P שמכילה את כל אברי הסדרה היורדת ורק אותם, ולכן P היא מהצורה <math> P = \left\{p_0 > p_1 > p_2 > p_3 ...\right\}</math> ובתת קבוצה זו אין איבר ראשון, ולכן Q מכילה קבוצה שאין לה איבר ראשון ולכן Q לא מסודרת היטב.
 
 
הטענה "כל קבוצה ניתן לסדר באמצעות סדר טוב", הקרויה [[משפט הסדר הטוב]], שקולה ל[[אקסיומת הבחירה]] ול[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. עם זאת, בעוד שאקסיומת הבחירה נחשבת סבירה מבחינה אינטואיטיבית, משפט הסדר הטוב מציב קשיים לא מבוטלים. למשל, קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] אמורה להיות ניתנת לסידור טוב, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה. (הסדר הרגיל על המספרים הממשיים בוודאי אינו טוב: בקבוצת המספרים הגדולים מאפס אין איבר מינימלי).