משפט ארו – הבדלי גרסאות

נרחיב את המשפט לפונקציות שבוחרות רק K מהמועמדים, כלומר, מחזירות דירוג על קבוצה בגודל קבוע מהמועמדיםשל מועמדים.

'''משפט ההרחבה''':

כלנניח פונקציהשישנם מסדרילפחות ההעדפותשלושה שלמועמדים. קבוצתכל האנשיםפונקציה ליחסהמתאימה יחס על תת קבוצה של אפשרויות כשישלכל שלושהוקטור אושל יותריחסי מועמדיםהעדפות שמקיימת את הדרישות הבאות היא דיקטטורה.

* מונוטוניות: אם A נבחר ביחס ההעדפות p ויש יחס ההעדפות חדששני q שבו מצבו לאשל A אינו נגרע אז מצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה. כלומר אם מתקיים שלכל שחקן ולכל אפשרות B אם שחקן העדיף את A על B בp אז גם בq, גורר שמצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה.

עבור <math>\ K = 1</math> זהו [[משפט גיבארד-סתרסוויט]], ואם K הוא מספר המועמדים זהו משפט ארוארוו.

נוכיח קודםתחילה לפונקציותאת שמחזירותהמשפט דירוגבאינדוקציה חזקעל באינדוקציהK כאשר הטווח של הפונקציה הוא קבוצת יחסי העדפות חזקים על קבוצות בנות K אפשרויות. בסיס האינדוקציה <math>\ K = 1</math> כבר נתון.

נניח שהמשפט נכון עבור K ונוכיח אותו עבור <math>\ K + 1</math>.