הבדלים בין גרסאות בדף "תנאי שפה"

נוספו 2,400 בתים ,  לפני 10 שנים
אין תקציר עריכה
מ (בוט מוסיף: uk:Крайова задача)
'''תנאי שפה''' הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של [[משוואה דיפרנציאלית]] (רגילהלפתרון אומסוים. אם זוהי [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|חלקיתרגילה]]) לפתרון מסוים. התנאים הם ערכי [[פונקציה|פונקציותפונקציית]] וההפתרון או ה[[נגזרת|נגזרות]] השונות שלהן,שלה בנקודותבמספר מסוימותסופי בזמןשל ובמרחב. אוסף הנקודות האלה הוא ה'''שפה'''. כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוגערכים של בעיההמשתנה פיזיקלית כלשהי, תנאי השפה הם חלק מהותי מהבעיה וידיעתם חיונית לפתרוןשלה. דוגמהאם לבעיה כזו היא חישובזוהי [[פוטנציאלמשוואה חשמלי]],דיפרנציאלית [[משוואת הגליםחלקית]], ועוד. ללא תנאי השפה ניתןהם להגיעפונקציית לפתרוןהפתרון כללי בלבד (כאלה ישאו ה[[אינסוףנגזרת|נגזרות]]), אולםהשונות לאשלה לפתרוןבתחומים ספציפי לבעיה. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע <math>\ t=0</math>, קוראים לתנאיםמסויימים '''תנאי התחלהשפה'''), כלומר הם פונקציות בעצמם.
 
תנאי השפה מתחלקים לשני סוגים עיקריים:
#'''תנאי [[דיריכלה]]''' - כאשר נתון ערכה של הפונקצייה על השפה
#'''תנאי [[ג'ון פון נוימן|ניומן]]''' - כאשר נתון ערכה של נגזרת הפונקצייה על השפה
 
כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוג של בעיה [[פיזיקה|פיזיקלית]] כלשהי, לרוב מדובר במשוואה עם פונקציה של ה[[זמן]] או ה[[מרחב]]. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע <math>\ t=0</math>, קוראים לתנאים '''תנאי התחלה'''. תנאי השפה הם חלק מהותי מבעיות כמו [[משוואת לפלס]] וידיעתם חיונית לפתרון.
דוגמה חשובה לבעיה עם תנאי שפה היא משוואת הגלים. בשלושה ממדים המשוואה הדיפרנציאלית היא:
 
==מתנד הרמוני==
<math>\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) - c^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})=0 </math>
המשוואה הדיפרנציאלית המתארת [[מתנד הרמוני]] עם קבוע קפיץ ידוע k היא משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר שני:
:<math>\, \psiy''(x,t)+ =k^2 Fy(x-vt)=0 + G(x+vt)</math>
הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה:
:<math>\, y(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)</math>
כאשר A ו-B הם שני קבועים המהווים דרגות חופש של הפתרון, ומספרם כסדר המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה. על מנת לקבל פתרון מדויק של הפונקציה המתארת את המתנד ההרמוני דרושים שני תנאי שפה. אם תנאי השפה הם מסוג דיריכלה, הפונקציה ידועה בשתי נקודות:
:<math>y(0)=0, \ y(\pi/2k)=2.</math>
מהתנאי <math>y(0)=0</math> מקבלים:
:<math>0 = A \cdot 0 + B \cdot 1</math>
ומתנאי השפה <math>y(\pi/2k)=2</math> מקבלים:
:<math>2 = A \cdot 1 </math>
מכאן שפתרון המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי השפה הללו הוא:
:<math>y(t)=2\sin(kx) \,</math>
 
==משוואת לפלס==
פתרונה הכללי של משוואה זו הוא [[גל]] כלשהו, אך כדי לדעת אם זהו, למשל, גל מישורי או כדורי, נדרשת ידיעת תנאי השפה. נתונים אלה יכתיבו את הפתרון המסוים לבעיה הנתונה.
[[משוואת לפלס]] היא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:
:<math>\nabla^2 f = 0 </math>
כאשר <math>\nabla^2</math> הוא [[אופרטור]] ה[[לפלסיאן]]. בעיה מסוג דיריכלה היא פתרון המשוואה כך שערכיה על השפה הכולאת את אזור הבעיה שווים לפונקציה ידועה. דוגמה לבעיה כזאת היא [[משוואת החום]]: ה[[טמפרטורה]] על משטח סגור נקבעת על ידי גורם חיצוני (והיא לאו דווקא אחידה על פניו), ויש למצוא את הטמפרטורה באזור שכלוא על ידי המשטח לאחר זרימת חום והתייצבות הטמפרטורה.
 
אם אזור הבעיה הוא בצורת [[תיבה]] אופרטור הלפלסיאן יילקח ב[[קואורדינטות קרטזיות]]. אם <math>f(x,y,z) \,</math> ניתנת להפרדת משתנים והתיבה ארוכה מאוד באחד הכיוונים (למשל ציר z) כך שהטמפרטורה תלויה רק בשתי קואורדינטות, הפתרון הבסיסי הוא מכפלה של פתרונות המתנד ההרמוני בשתי קואורדינטות אלה. אולם כעת על מנת לקבל פתרון מדויק יש צורך בידיעת הפתרון על פני כל שפת התיבה. הפתרון הכללי הוא סכום על כל הפתרונות עם קבועים k המקיימים את תנאי השפה:
דוגמה פשוטה יותר היא משוואת הגלים החד ממדית המייצגת הפרעה המתקדמת במיתר: <math>\ u_{tt}-c^2 u_{xx}=G(x)</math>
:<math>\, f(x,y) = \sum_{n,m=0}^\infty (A_{nm} \sin(k_n x) + B_{nm} \cos(k_n x))(C_{nm} \sin(k_m y) + D_{nm} \cos(k_m y))</math>
המקדמים <math>\ A_{mn}, B_{mn}, C_{nm}, D_{nm}</math> הם [[סדרה|סדרות]] של שני משתנים וגם הם נקבעים על ידי תנאי השפה.
 
==משוואת הגלים==
ללא תנאי שפה נוכל לקבל פתרון כללי בלבד:
[[משוואת הגלים]] היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני. בשלושה ממדים המשוואה היא:
:<math>\ \psi(x,t) = F(x-vt) + G(x+vt)</math>
:<math>\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) - c^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})=0 </math>
 
פתרונה הכללי של משוואה זו הוא [[גל]] כלשהו: פונקציה של המרחב שמשתנה בזמן כך שערכיה נשמרים בנקודות שנעות בכיוון כלשהו במרחב במהירות c, או צירוף לינארי של פונקציות כאלה. תנאי השפה יכולים לקבוע את [[חזית גל|חזית הגל]] וכך להכתיב את סוג הגל, למשל גל מישורי או גל כדורי.
ידיעת המערכת הפיזיקלית המתאימה מאפשרת לקבוע את תנאי השפה המתאימים: למשל, אם המיתר אחוז בשני קצותיו, הכרחי שאמפליטודת ההפרעה היא תמיד אפס בשני הקצוות. זהו מקרה של '''תנאי דיריכלה הומוגני''' (הפונקצייה מתאפסת על שפת התחום) נוכל לקבל פתרון מהצורה:
: <math>\ \psi_k(x,t) = a_k e^{i(\omega t - k x)} + b_k e^{i(\omega t + k x)}</math>
 
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]