קבוצה סופית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הפניה לדף קבוצה (מתמטיקה) |
הזמן סופי והמלאכה מרובה |
||
שורה 1:
ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצה סופית''' היא [[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]], שיש לה מספר סופי של איברים. לכאורה ההבחנה בין קבוצה סופית וקבוצה אינסופית היא פשוטה ואינטואיטיבית, אבל במהלך ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|פיתוח האקסיומטי של תורת הקבוצות]] היתה נחוצה הגדרה מדוייקת. אז התברר שכמה משפטים מובנים מאליהם אינם תקפים במסגרת [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]], אלא אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]].
הראשון שהגדיר מהי קבוצה סופית היה [[ריכרד דדקינד]], ב-[[1888]] (ראו להלן). ב-[[1905]] הבחין [[ברטראנד ראסל|ראסל]] שכדי להוכיח ש[[קבוצת החזקה]] של קבוצה סופית במובן של דדקינד היא סופית באותו מובן, נחוצה אקסיומת הבחירה. ב-[[1924]], תחת השפעת עבודות של [[ואצלב שרפינסקי]] ו[[קזימיירז קורטובסקי]], כתב [[אלפרד טרסקי]] מאמר סקירה מקיף בנושא, ובו השווה חמש תכונות, שכולן אמורות לתאר את הסופיות של A:
# בכל משפחה של תת-קבוצות של A, יש תת-קבוצה מקסימלית ביחס להכלה;
# בכל משפחה של תת-קבוצות של A שיחס ההכלה מסדר אותה [[סדר ליניארי|ליניארית]], יש תת-קבוצה מקסימלית;
# אין תת-קבוצה אמיתית של קבוצת החזקה <math>\ P(A)</math> שהיא שוות-עוצמה ל-<math>\ P(A)</math>;
# אין תת-קבוצה אמיתית של A שהיא שוות-עוצמה ל-A (זו ההגדרה של דדקינד);
# אי-אפשר להציג את A כאיחוד זר של שתי קבוצות שכל אחת מהן שוות-עוצמה ל-A.
טרסקי הראה שכל תכונה גוררת את הבאות אחריה, ושכולן שקולות אם מניחים את אקסיומת הבחירה; מתמטיקאים שבאו בעקבותיו הראו שללא אקסיומת הבחירה, חמש התכונות באמת אינן שקולות זו לזו.
ב-[[1938]] בחן טרסקי שלוש תכונות נוספות:
6. לכל [[סדר טוב]] S על A, גם הסדר ההפוך <math>\ \{(b,a): (a,b)\in S\}</math> הוא סדר טוב על A;
7. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז אפשר לפרק אותה לאיחוד זר של שתי קבוצות שעוצמתן קטנה משל A;
8. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז עוצמתה קטנה משל ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>\ A\times A</math>.
טרסקי הראה שהשקילות בין כל אחת מההגדרות האלה להגדרה 1 שלעיל גוררת את אקסיומת הבחירה.
== מקורות ==
* Gregory H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice, Its origins, development and influence, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 8, 1982, סעיף 4.2.
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[en:finite set]]
| |||