האלכסון של קנטור – הבדלי גרסאות

'''האלכסון של קנטור''' -היא [[הוכחה|הוכחתו]] של [[גאורג קנטור]] שה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] אינם [[קבוצה בת מנייה|בני מנייה]] כלומר, לא קיימת [[התאמה חד-חד ערכית]] בינם לבין ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].

ההוכחה מתבססת על [[הצגה עשרונית|ההצגה העשרונית]] של המספרים הממשיים. כל מספר ממשי ניתן להציג כסדרה אינסופית של ספרות (לעתים כולן 0 החל ממקום מסוים). ניתן להוכיח שהקטע (0,1), אינוהמכיל בןאת מנייהכל המספרים בין 0 ל-1, שווה ב[[עוצמה|עוצמתו]] לכל [[הישר הממשי]] (כלומר קיימת התאמה בינו לבין כל המספרים הממשיים). בקטע זה ההצגה של כל מספר מתחילה בספרה 0, אחריה נקודה עשרונית ואחריה סדרה אינסופית של ספרות. נשמיט את כל המספרים שמסתיימים בסדרה אינסופית של 9, שכן סדרות אלו מייצגות מספר ממשי שניתן לייצגו בשתיבדרך דרכיםאחרת (ראו הערך [[0.999...]]). כעת יש לנו [[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] בין הסדרות האינסופיות של הספרות לבין המספרים הממשיים בקטע (0,1), שכן כל מספר ממשי בקטע מיוצג על ידי סדרת ספרות אחת בדיוק.

כעת נניח [[הוכחה בדרך השלילה|בדרך השלילה]] שהמספרים הממשיים בקטע (0,1) הם בני מנייה, כלומר לכל מספר ממשי בקטע ניתן להתאים מספר טבעי כלשהו. יהיעתה יש לנו רשימה אינסופית של מספרים בקטע שאת הפריטים שלה נסמן כך: <math>\!\, r_1,r_2,r_3,\dots</math>. כעת נראה שיש מספר חסר ברשימה.

נבנה את המספר שלנו נבנההזה כך:

נבחן את הרשימה. אם הספרה במקום ה-n בפיתוח העשרוני של המספר <math>\!\, r_n</math> היא 20, במספר שלנו הספרה ה-n תהיה 1. אחרת, היא תהיה 20.

:<math>\!\,r_1=0.\mathbf{20}105110\dots</math>

:<math>\!\,r_4=0.233\mathbf{23}126\dots</math>

:<math>\!\,r_6=0.99378\mathbf{32}8\dots</math>

:<math>\!\,r_7=0.010513\mathbf{20}\dots</math>

<math>\!\,r=0.12212211000101\dots</math>.

לפי הפיתוח העשרוני שלו, המספר אותו בנינו נמצא בקטע (0,1),. אך לא ייתכן שהוא נכלל בספרורברשימה שעשינושערכנו, שכן עבור כל מספר טבעי n, דאגנו המספר שבנינו שונה מהמספר <math>\!\, r_n</math> בספרה אחת לפחות. מכאןנוצרה סתירה מכיוון שהנחנו שכל המספרים בקטע ערוכים ברשימה ובכל זאת מצאנו אחד שאינו ברשימה. במכאן שההנחה כי אפשר בכלל לערוך רשימה לא נכונה ולכן הקטע (0,1) הואאיננו בן מנייה איננה נכונה.

הוכחה זו מראה שיש לפחות שתי [[עוצמה|עוצמות]] שונות, כלומר שני גדלים שונים של אינסוף: העוצמה של המספרים הטבעיים, שאותה סימן קנטור באות העברית <math>\!\ \aleph_0</math> (קרי: [[אלף אפס]]), ועוצמת הממשיים, שאותה סימן באות <math>\!\ \aleph</math> (זה הסימון המקובל בקרב המתמטיקאים עד היום). [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] מראה שקיימים [[אינסוף]] גדלים שונים של אינסוף, שכן לכל [[קבוצה אינסופית]], [[קבוצת החזקה]] שלה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.