תורת הקבוצות הנאיבית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←‏פרדוקסים: הבהרה
BrobdingnaG (שיחה | תרומות)
מ ←‏פרדוקסים: עריכונת
שורה 18:
כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-D אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D.
 
נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה D היא איבר ב-D? אם כן, אז בהתאם להגדרתה של D היא D אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, אז הקבוצה D היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית בכך שהוכחנו משפט והיפוכו מאותה מערכת לוגית.
 
בעקבות סתירה זו, ובעיות נוספות, שביניהן למשל הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס ל[[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלה (האם היא שקולה לה?) ולמשל [[הפרדוקס של בורלי-פורטי]], והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], שהיא למעשה מה שלרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.