ויקיפדיה

משפט קושי (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 21:
כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם <math>\ |G|=p</math> אז כל איבר לא-[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] הוא מסדר p (לפי [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-<math>\ |G|</math>.
*'''מקרה א.''' קיים איבר <math>\ x\in G</math>, <math>\ x\not\in Z(G)</math> עבורו <math>\ p||Z_x|</math> (לא להתבלבל: <math>\ Z_x</math> הוא '''הַמְּרַכֵּז''' של <math>\ x</math> המוגדר: <math>\ Z_x:=\{g\in G | gx=xg\}</math> ואילו <math>\ Z(G)</math> הוא [[מרכז של חבורה|מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה]] <math>\ Z(G) : = \{ z\in G | zg = gz \forall g\in G\} </math>). <math>\ Z_x\ne G</math> כי <math>\ x\not\in Z(G)</math> ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-<math>\ Z_x</math> לכן <math>\ |Z_x|<|G|</math>, הנחנו <math>\ p||Z_x|</math>, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר <math>\ p</math> ב-<math>\ Z_x</math>, אבל זו תת-חבורה של G.
*'''מקרה ב.''' לכל איבר <math>\ x\in G</math> <math>\ x\not\in Z(G) </math>, <math>\ p</math> לא מחלק את <math>\ |Z_x|</math>. לפי משפט לגראנז' <math>\ |G|=|Z_x|*[G:Z_x]</math> ומשני הנתונים נובע ש-<math>\ p|[G:Z_x]</math>. ידוע ש-<math>\ [G:Z_x]=|conj(x)|</math> (<math>\ conj(X)</math> היא מחלקת הצמידות של x ב- G). לפי משוואת[[שוויון המחלקות]] <math>\ |G|=|Z(G)|+ \sum_{i=1}^k |conj(x_i)|</math> כש-<math>\ x_1,...,x_k</math> נציגי מחלקות הצמידות שסדרן גדול מ-<math>\ 1</math>, כמובן, <math>\ x_1,...,x_k</math> אינם איברים ב-<math>\ Z(G)</math> כי סדר איבר במרכז הוא <math>\ 1</math>. הנחנו <math>\ p||G|</math>, הראנו <math>\ p|\sum_{i=1}^k|conj(x_i)|</math> לפי משוואת המחלקות <math>\ p||Z(G)|</math>. <math>\ Z(G)</math> חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר <math>\ p</math> וסיימנו.
 
===הוכחה נוספת===
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משפט_קושי_(תורת_החבורות)"