סדר (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

בהינתן חבורה <math>\,\! G</math> ואיבר כלשהו <math>\,\! g\isin G</math>, הסדר של <math>\,\! g</math> שמסומן <math>\,\! o(g)</math> הוא ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] הטבעית הקטנה ביותר <math>\,\! n</math> של <math>\,\! g</math> שעבורה <math>\,\! g^n=e</math>, האיברה[[איבר אדיש|איבר האדיש]] בחבורה. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהעוצמה של <math>\,\! g</math> היא אינסופית, ונסמן <math>\,\! o(g)=\infty</math>.

מסקנה אחת ממשפט לגראנז' מקשרת בין מושג הסדר של החבורה לסדר של איבר בחבורה - כאשר סדר החבורה סופי, הסדר של איבר בחבורה מחלק תמיד את סדר החבורה, אם סדר החבורה סופי. נראה זאת: תהא <math>\,\! G</math> חבורה סופית ויהא <math>\,\! g\isin G</math> מסדר סופי. אז נביט בתת-החבורה [[חבורה ציקלית|הציקלית]] <math>\,\! \langle g\rangle</math> הנוצרת על ידי <math>\,\! g</math>. סדר תת-החבורה הזו הוא בדיוק הסדר של <math>\,\! g</math>, כי החל מ<math>\,\! g^n</math> מתחילים איברי החבורה לחזור על עצמם. על פי משפט לגראנז', סדר החבורה הזו מחלק את סדר <math>\,\! G</math>.

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית <math>\,\! G</math>, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה הוא האיבר האדיש. נראה זאת: יהא <math>\,\! g\isin G</math> כלשהו, אז <math>\,\! o(g)||G|</math> (קרי הסדר של <math>\,\! g</math> מחלק את הסדר של <math>\,\! G</math>) ולכן <math>\,\! |G|=k\cdot o(g)</math>. על כן: