ויקיפדיה

תת-קבוצה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
הערות שוליים
נדרס בהתנגשות
שורה 4:
את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת קבוצה של <math>\ A</math>, או, <math>\ A</math> מכילה את <math>\ B</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>.
 
==מאפיינים==
מתקיים:
*[[הקבוצה הריקה]] היא קבוצה חלקית לכל קבוצה Aנתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה Aהנתונה (הטענה נכונה [[באופן ריק]] כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).▼
*כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה ([[רפלקסיביות]]).
▲*[[הקבוצה הריקה]] היא קבוצה חלקית לכל קבוצה A. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה A (הטענה נכונה [[באופן ריק]] כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
*אם A היא תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של C, אזי A תת-קבוצה של C ([[טרנזיטיביות]]).
*אם A תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של A, אזי A=B.
 
את יחס ההכלה מאפיינים היחסים הבאים:
אם כן, [[יחס]] ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזטיבי]]. היחס אינו שלם, כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.▼
* כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה), (יחס זה מכונה "[[רפלקסיביות]]").
* אם הקבוצה <math>\ A</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ B</math> והקבוצה <math>\ B</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math>, אזי הקבוצה <math>\ A</math> היא גם תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>\ A \subseteq B</math> וגם <math>\ B \subseteq C</math> אז <math>\ A \subseteq C</math>) (יחס זה מכונה "[[טרנזיטיביות]]").
 
▲אם כן, [[יחס]] ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזטיבי]]. היחס אינו שלם,: כי יש זוגות של קבוצות (כמו ת (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים, או הקבוצה <math>\ \{ 1 \}</math> והקבוצה <math>\ \{ 2 \}</math>) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
קבוצה A שווה לקבוצה B [[אם ורק אם]] A מכילה את B וכן B מכילה את A. בכתיב פורמלי:
:<math>A = B\iff B\subseteq A \and A\subseteq B</math>
 
==יחסים נוספים==
כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A '''מכילה ממש''' את B, ונסמן <math>A\supsetneq B.</math> או <math>B\subsetneq A.</math>. בספרים מסויימים משתמשים בסימון <math>\subset</math> עבור "מכילה ממש, ובספרים אחרים משתמשים בסימון זה עבור הכלה רגילה.
באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה <math>\ A</math> שווה לקבוצה <math>\ B</math> [[אם ורק אם]] הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> וגם הקבוצה <math>\ B</math> מכילה את הקבוצה <math>\ A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A = B\iff B\subseteq A \and A\subseteq B</math>).
 
באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>\ A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>\ B</math>, ובניסוח פורמלי <math>\ B \subseteq A</math> וגם <math>\ B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>\ B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>\ A</math>. יחס זה מסמנים <math>\ B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A \subset B\iff B\subseteq A \and B\neq A</math>).
 
==ראו גם==
*[[מונחים בתורת הקבוצות]]
 
 
==הערות שוליים==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/תת-קבוצה"