הלמה של צורן – הבדלי גרסאות

תהאלפי <math>\[[עקרון Bהמקסימום </math>של [[שרשרת מקסימליתהאוסדורף]] ב-<math>\(השקול Aלאקסיומת </math>הבחירה) (קיומהקיימת מובטח לפיב-A [[עקרוןשרשרת המקסימום של האוסדורףמקסימלית]]) ויהיC. <math>\יהי a </math> חסם מלעיל ל-<math>\של B </math>C. נוכיח כי <math>\ a </math> מקסימלי ב-<math>\ A: </math> (ההוכחה היאנניח ב[[הוכחה בדרך השלילה|דרך השלילהשלילה]]). נניח ש-<math>\ a </math> איננו מקסימלי. לכן, קיים <math>\ b </math> ב-<math>\in A </math> כך ש-<math>\ a<b </math>. מהיותו של <math>\ a </math> חסם מלעיל ל-<math>\של B </math>C אנו מקבלים כי לכל <math>\ c </math> ב-<math>\in BC </math> מתקיים <math>\ c \le a </math>. מכאן, לכל <math>\ c </math> ב-<math>\in BC </math> מתקיים <math>\ c<b </math> ולכן <math>\ b \not\in B </math>. נתבונן בקבוצה <math>\ B \cup \left\{ b \right\} </math>. הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-<math>\ b \not\in BC </math> אז אנו מקבלים ש-<math>\ BC \subset BC \cup \left\{ b \right\} </math>, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-<math>\ B </math>C וזאת בסתירה לכך ש-<math>\ B </math>C היא שרשרת מקסימלית ב-<math>\ A </math>. סתירה זאת מוכיחה את המשפט.