|
'''דיפרנציאביליות''' ב[[מתמטיקהאנליזה מתמטית]], '''פונקציה דיפרנציאבילית''' היא תכונה של [[פונקציה|פונקציות ממשית]] שכאשר היאבכמה מתקיימתמשתנים, קייםשיש לפונקציהלה [[קירוב לינארי]].
כאשרפונקציה עוסקיםדיפרנצאבילית בפונקציות של משתנהבמשתנה אחד, מושג הדיפרנציאביליות מתלכד עםאינה מושגאלא ה[[נגזרת|גזירותפונקציה גזירה]]. עם זאת, בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות,: שכןלפונקציה גזירותיכולה מוגדרתלהיות רקנגזרת עבור(שאינה משתנהאלא יחיד.וקטור ניתןהנגזרות לראות את תכונת הדיפרנציאביליות כ[[הכללה (מתמטיקההחלקיות)|הכללה]] שלגם תכונתאם הגזירותהיא לכמהאינה משתניםדיפרנציאבילית.
==הגדרה פורמלית==
תהא <math>\ f : \left(x_1,mathbb{R}^n \dots,x_nrightarrow \right)mathbb{R}</math> פונקציה ב<math>\!\, n</math> משתנים. נגיד שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה <math>x^0=\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)</math> אם קיימתאפשר סביבה של הנקודה כך שלכללכתוב <math>\Delta f=f\left(x^0_1+\Delta x_1,\dots,x^0_n+\Delta x_n\right)</math>= בה ניתן לכתוב <math>f(x^0_1,\Delta fdots,x^0_n)=A_1\cdot\Delta x_1+\dots+A_n\cdot\Delta x_n+\alpha_1\cdot\Delta x_1+\dots+\alpha_n\cdot\Delta x_n</math>, כאשר <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math> מספרים קבועים, ו-<math>\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> פונקציות השואפות לאפס כאשר <math>\!\, \Delta x^0</math> שואף לאפס.
פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה <math>\!\, x^0</math> אפשר לייצג את הפונקציה שלנו בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב-<math>\!\, n</math> משתנים, כשהמקדמים הם <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math>. זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות <math>\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n</math>) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה. ▼
▲פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה <math>\!\, x^0</math> אפשר לייצג את הפונקציה שלנו בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב-<math>\!\, n</math> משתנים, כשהמקדמים הם <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math>. זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות <math>\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n</math>) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.
==משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות==
:יתראם עלפונקציה כןהיא דיפרנציאבילית בנקודה, ניתןאז להראותהיא כי[[פונקציה רציפה|רציפה]] שם, יש לה [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]], המקדמיםוהמקדמים <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math> בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: <math>\!\, A_k=\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0)</math>. ▼תנאים הכרחיים לדיפרנציאביליות:
*פונקציה שהיא דיפרנציאבילית בנקודה מסוימת - [[רציפות|רציפה]] בנקודה זו.
*לפונקציהקיומן שהיאשל נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית בנקודה(או מסוימתאפילו -רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות [[נגזרתורציפות, חלקית|נגזרותאז חלקיות]]הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.
▲:יתר על כן, ניתן להראות כי המקדמים <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math> בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: <math>\!\, A_k=\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0)</math>.
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות:
*אם לפונקציה רציפה בנקודה מסוימת קיימות נגזרות חלקיות, והן רציפות באותה נקודה - הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
{{נ}}
|
