משפט וילסון – הבדלי גרסאות

נניח ש- p ראשוני. לכל <math>\ 1\leq a < p</math> קיים b יחיד באותו טווח, המקיים <math>\ ab \equiv 1 \pmod{p}</math> (זהו ההפכי של a ב[[חבורת אוילר]] <math>\ U_p</math>). אם a הפוך לעצמו אז <math>\ p |(a-1)(a+1)</math>, ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה <math>\ (p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots (p-1)</math>, כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל-<math>\ (1-P)1</math>.