חבורת גלואה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט: מסיר קישורים של הדף לעצמו |
מ שוחזר מעריכות של Matanyabot (שיחה) לעריכה האחרונה של רחל1 |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[תורת גלואה]], [[חבורת גלואה]] של [[הרחבת שדות]] <math> \ E / F</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] [[אוטומורפיזם|האוטומורפיזמים]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|השדה]] <math> \ E</math>, המעבירים את איברי [[שדה (מבנה אלגברי)|השדה]] <math> \ F</math> לעצמם.
[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] זו נקראת על שם [[אווריסט גלואה]], אבי [[תורת החבורות]].
לחבורה זו חשיבות גדולה באיפיון ההרחבה <math> \ E / F</math>, זאת בזכות [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] המציג את הקשר בין [[שדה ביניים|שדות הביניים]] של ההרחבה, לבין [[תת חבורה|תת החבורות]] של [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של ההרחבה.
== הגדרה ==
יהי <math>\ F</math> שדה, ותהי <math> \ E / F </math> [[הרחבת שדות]]. [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של ההרחבה <math> \ E / F </math> המסומנת ב<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) </math>, <math>\operatorname{Aut} \left(E / F \right)</math> או ב<math> \ \operatorname{Gal} \left(E / F \right) </math> מוגדרת להיות
<math> \ \operatorname{G} \left(E / F \right) = \{\sigma \in \operatorname{Aut} \left( E \right) | \sigma (x) = x; \forall x \in F \}</math>
שורה 17:
== דוגמאות ==
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{C} / \mathbb{R} </math> היא קבוצה המכילה שני איברים: את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], ואת [[צמוד מרוכב|העתקת ההצמדה]]. זאת מאחר ואם <math> \sigma </math>
*באופן דומה, ניתן להראות כי [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה שני איברים: [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], והעתקת ההצמדה: <math> \sigma\left(a + b\sqrt{2}\right) = a - b\sqrt{2}</math>
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{R} / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. יתרה מזאת, [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ \mathbb{R} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. בכדי להוכיח זאת, יש לשים לב ש[[אוטומורפיזם]] של <math> \ \mathbb{R} </math> מעביר כל [[מספר חיובי]] ל[[מספר חיובי]], מאחר ו<math> \ \sigma(a^2) = \sigma(a)^2</math> ולכן שומרת על יחס סדר.
*תהי <math> \ F / \mathbb{Q}</math> [[הרחבת שדות]]. אזי [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של <math> \ F / \mathbb{Q}</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ F</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(F\right)</math>. זאת מאחר ו[[הומומורפיזם]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] מעביר את [[מספר שלם|המספרים השלמים]] לעצמם, ולכן גם את [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] לעצמם.
*יהי <math>\ p</math> [[מספר ראשוני]], ותהי <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> הרחבת שדות, אזי באופן דומה [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ K</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(K\right)</math>.
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. זאת מאחר ואם <math>\sigma</math> בחבורה, מתקיים <math> \sigma\left(\sqrt[3]{2}^3 - 2 \right) = \sigma(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0 </math>. לכן בהכרח <math>\sigma\left(\sqrt[3]{2}\right) = \sqrt[3]{2}</math>. מאחר ו<math>\{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 \} </math> [[בסיס (אלגברה)|בסיס]], נובע כי <math>\sigma</math> היא בהכרח [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]].
שורה 37:
== תכונות ==
*אם ההרחבה <math> \ E / F </math> [[ממד (אלגברה לינארית)|מממד סופי]], מתקיים כי <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| \le \left[E:F\right]</math>, כאשר צד שמאל הוא גודל [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
*השוויון <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| = \left[E:F\right]</math> מתקיים [[אם ורק אם]] <math> \ E / F </math> [[הרחבת גלואה]]. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר והן מקיימות את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]].
*[[הלמה של ארטין]]: יהי <math>\ E</math> שדה, ו<math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math> [[תת-חבורה]] של [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ E</math>. אזי אם <math>\ E^G = F</math> מתקיים <math>\left[E:F\right] \le |G|</math>. מתקיים אפילו <math>G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math>
| |||