מרחב אוקלידי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תבנית "בעבודה". אני מתחילה לתרגם מאנגלית עכשיו. |
תרגום מאנגלית (כמעט מלא, מלבד שתי הפסקאות האחרונות באנגלית שקשות לי מדי) |
||
שורה 1:
{{בעבודה}}[]
[[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|left|250px|נקודה במרחב האוקלידי התלת-ממדי מוגדרת בעזרת שלוש קואורדינטות.]]
ב[[מתמטיקה]], '''מרחב אוקלידי''' הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]]
מבחינה מתמטית, משתמשים במונח 'מרחב אוקלידי' כדי לתאר [[מרחב וקטורי]] בעל ממד סופי מעל [[שדה המספרים הממשיים]], תוך הדגשת העובדה שמרחב זה מצויד ב[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית, שבעזרתה אפשר לחשב מרחקים וזוויות במשמעותם המקובלת.▼
[[מתמטיקה ביוון העתיקה|בגאומטריה היוונית הקלאסית]], המישור האוקלידי והמרחב האוקלידי התלת-ממדי הוגדרו באמצעות מספר [[אקסיומה|אקסיומות]], וכל שאר תכונותיהם נבעו מהן כ[[משפט (מתמטיקה)|משפטים]]. במתמטיקה המודרנית מקובל יותר להגדיר מישור אוקלידי באמצעות [[מערכת צירים קרטזית|מערכת הצירים הקרטזית]] ובאמצעות הרעיונות של [[גאומטריה אנליטית| הגאומטריה האנליטית]]. הגישה הזאת מאפשרת להשתמש בכלים של ה[[אלגברה]] ושל [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון האינפיניטסימלי]] גם בגאומטריה, ויתרונה בקלות החלתה על מישורים אוקלידיים רב-ממדיים.
המכפלה הפנימית הופכת את המרחב הווקטורי ל[[מרחב נורמי]], שהוא סוג מיוחד של [[מרחב מטרי]], ולכן גם של [[מרחב טופולוגי]]. המרחב האוקלידי מהווה דוגמה חשובה לכל אחד מן המושגים האלה. ▼
מנקודת המבט המודרנית, יש למעשה רק מרחב אוקלידי אחד בכל ממד: [[הישר הממשי]] הוא המרחב האוקלידי החד-ממדי, [[מישור (גאומטריה)|המישור]] הוא המרחב האוקלידי הדו-ממדי, ובדומה, בממדים הגבוהים יותר, יהיה זה מרחב עם מספר גדול יותר של קואורדינטות ממשיות. כך, [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב אוקלידי היא [[n-יה סדורה]] של מספרים ממשיים, ואת המרחק בין נקודות מחשבים בעזרת '''נוסחת המרחק האוקלידי'''. בדרך כלל מסמנים המתמטיקאים את המרחב האוקלידי ה-n-ממדי ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. לפעמים מסמנים אותו ב-<math>\mathbb{E}^n</math> כדי להדגיש את אופיו האוקלידי. הממד של מרחבים אוקלידיים הוא סופי.
== מבוא ואינטואיציות ==
אפשר לחשוב על המישור האוקלידי כעל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] של [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] המקיימות קשרים מסוימים, שאפשר לבטא אותם במונחים של מרחק וזווית. לדוגמה, יש שתי פעולות בסיסיות במישור. האחת היא '''העתקה''', כלומר הזזה של המישור כך שכל הנקודות בו יזוזו באותו כיוון ולאותו מרחק. האחרת היא '''סיבוב''' סביב נקודה קבועה במישור, כך שכל הנקודות במישור יזוזו באותה זווית יחסית לנקודה הקבועה. אחד מיסודות הגאומטריה האוקלידית הוא ששני גופים במישור, כלומר, [[תת-קבוצה|תת-קבוצות]] של המישור, נחשבים שקולים ([[חפיפה|חופפים]]) אם אפשר לעבור מהאחד אל האחר בדרך של העתקות, סיבובים ו[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]].
▲
* הווקטורים במרחב הווקטורי מתאימים לנקודות במישור האוקלידי,
* פעולת החיבור במרחב הווקטורי מתאימה להעתקה,
* והמכפלה הפנימית מאפשרת לחשב מרחקים וזוויות ובעזרתם להגדיר גם סיבוב.
עכשיו, משתיארנו את המישור האוקלידי בשפה הזאת, קל להרחיב את הרעיון לכל מספר n של ממדים. ריבוי הממדים לכשעצמו, לא מסבך, בדרך כלל, את אוצר המילים, לא את הנוסחאות, וגם לא את החישובים (אם כי סיבובים הם מעט יותר בעייתיים ברב-ממד, וגם למתמטיקאים מנוסים קשה לדמיין מרחבים רב-ממדיים).
ועוד קושי אחרון: טכנית, מרחב אוקלידי איננו מרחב וקטורי, אלא '''מרחב אפיני''' שמרחב וקטורי [[פעולת חבורה|פועל]] עליו. המשמעות האינטואיטיבית של ההבחנה הזאת היא שאין נקודה ידועה ומוסכמת על הכל המשמשת כ[[ראשית הצירים]] של המרחב, כי את המרחב אפשר להעתיק לכל מקום. בהמשך המאמר נתעלם מהפרט הטכני הזה.
==המרחב הממשי ה-n-ממדי==
נסמן ב-<math>\mathbb {R}</math> את [[שדה מספרים הממשיים]]. לכל [[מספר שלם]] חיובי n, קבוצת כל [[n-יה סדורה|ה-n-יות הסדורות]] של מספרים ממשיים יוצאת מרחב וקטורי n-ממדי מעל <math>\mathbb {R}</math> שנהוג לסמן ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. לעתים הוא נקרא '''המרחב הממשי ה-n-ממדי'''. איבר ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ייכתב כך:
: <math>,\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
כאשר כל
''x''<sub>''i''</sub>
הוא מספר ממשי.
<br />
<br />
הפעולות ב-<math>\mathbb{R}^n</math> מוגדרות כך:
: <math>,\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
: <math>.a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
<br />
ל-<math>\mathbb{R}^n</math> יש '''בסיס סטנדרטי''':
:<math>
\begin{align}
\mathbf{e}_1 & = (1, 0, \ldots, 0) \\
\mathbf{e}_2 & = (0, 1, \ldots, 0) \\
& {}\,\,\, \vdots \\
\mathbf{e}_n & = (0, 0, \ldots, 1)
\end{align}
</math>
וכל וקטור ב-<math>\mathbb{R}^n</math> יכול להיכתב כך:
: <math>.\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
<br />
<math>\mathbb{R}^n</math> הוא דוגמה אופיינית למרחב וקטורי ממשי n-ממדי. כל למרחב וקטורי ממשי n-ממדי ''V'' הוא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפי]] ל-<math>\mathbb{R}^n</math>. אבל האיזומורפיזם איננו קנוני. בחירת איזומורפיזם שקולה לבחירה של [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ל-''V'' (מתוך התמונה של הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^n</math> ב-''V''). לפעמים נוח לעבוד עם מרחב וקטורי שרירותי שאיננו <math>\mathbb{R}^n</math> כדי לא להתחייב לבסיס מסוים.
==המבנה האוקלידי==
מרחב אוקלידי איננו רק מרחב ממשי n-ממדי. כדי להחיל עליו את הגאומטריה האוקלידית צריך לדעת לדבר על מרחק בין נקודות ועל זוויות בין קווים או בין ווקטורים. טבעי לעשות זאת בעזרת ה[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית. מגדירים את המכפלה הפנימית של שני וקטורים '''x''' ו-'''y''' כך:
: <math> .\, \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n</math>
התוצאה היא תמיד מספר ממשי. יתרה מזאת, תוצאת המכפלה הפנימית של '''x''' בעצמו היא תמיד אי-שלילית. המכפלה הפנימית מאפשרת לנו להגדיר "אורך" של וקטור '''x''' כך:
: <math>.\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
פונקציית האורך הזאת מקיימת את הדרישות של [[נורמה (אלגברה)|נורמה]] והיא נקראת '''הנורמה האוקלידית''' על <math>\mathbb{R}^n</math>.
הזווית בין '''x''' ו-'''y''' תחושב כך:
: <math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
כאשר cos<sup>−1</sup> הוא [[הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות|הפונקציה ההפוכה]] של פונקציית הקוסינוס. הזווית מוגדרת היטב מכיוון שהארגומנט של ה- cos<sup>−1</sup> קטן מ-1 לפי [[אי-שוויון קושי-שוורץ]].
לסיום, אפשר להשתמש בנורמה כדי להגדיר את ה[[מטריקה]] (פונקציית המרחק) ב-<math>\mathbb{R}^n</math> כך:
: <math>.d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>
פונקציה זאת נקראת '''המרחק האוקלידי''' או '''המטריקה האוקלידית''', והיא אחד מהייצוגים של [[משפט פיתגורס]].
▲מרחב ממשי n-ממדי ביחד עם המבנה האוקלידי ייקרא '''מרחב אוקלידי''' ופעמים רבות יסומן ב- <math>\mathbb{E}^n</math> (אבל כותבים רבים מתייחסים גם ל-<math>\mathbb{R}^n</math> כאל מרחב אוקלידי, ומסתמכים על קיומו של מבנה אוקלידי, בלי לציין זאת במפורש). המכפלה הפנימית הופכת את המרחב הווקטורי ל[[מרחב נורמי]], שהוא סוג מיוחד של [[מרחב מטרי]], ולכן גם של [[מרחב טופולוגי]]. המרחב האוקלידי מהווה דוגמה חשובה לכל אחד מן המושגים האלה.
מגדירים סיבוב במרחב אוקלידי כ[[העתקה לינארית]] '''T''' המשמרת זוויות ומרחקים:
: <math>,T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math>
: <math>.|T\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|</math>
בשפת ה[[מטריצה|מטריצות]], סיבובים הם [[מטריצה אורתוגונלית|מטריצות אורתוגונליות מיוחדות]].
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||