מרחב אוקלידי: הבדלים בין גרסאות

נוספו 230 בתים ,  לפני 10 שנים
מ
 
==המרחב הממשי ה-n-ממדי==
נסמן ב-<math>\mathbb {R}</math> את [[שדה מספרים הממשיים]]. לכל [[מספר שלם]] חיובי <math>\ n</math>, קבוצת כל [[n-יה סדורה|ה-n-יות הסדורות]] של מספרים ממשיים יוצאת מרחב וקטורי <math>\ n</math>-ממדי מעל <math>\mathbb {R}</math> שנהוג לסמן ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. לעתים הוא נקרא '''המרחב הממשי ה-<math>\ n</math>-ממדי'''. איבר ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ייכתב כך:
<div style="text-align: center;">
: <math>,\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
</div>
כאשר כל <math>\ x_i</math> הוא מספר ממשי.
 
: <math>,\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
 
כאשר כל
''x''<sub>''i''</sub>
הוא מספר ממשי.
<br />
<br />
הפעולות ב-<math>\mathbb{R}^n</math> מוגדרות כך:
<div style="text-align: center;">
: <math>.a\,\mathbf{x} + \mathbf{y} = (a x_1, a+ y_1, x_2 + y_2, \ldots, a x_n + y_n)</math>
 
: <math>.a\,\mathbf{x} + \mathbf{y} = (a x_1, + y_1,a x_2 + y_2, \ldots, a x_n + y_n)</math>
</div>
 
: <math>.a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
 
<br />
ל-<math>\mathbb{R}^n</math> יש '''בסיס סטנדרטי''':
<div style="text-align: center;">
:<math>
\begin{align}
\mathbf{e}_1 & = (1, 0, \ldots, 0) \\
\end{align}
</math>
</div>
וכל וקטור ב-<math>\mathbb{R}^n</math> יכול להיכתב כך:
<div style="text-align: center;">
 
: <math>.\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
</div>
 
<math>\mathbb{R}^n</math> הוא דוגמה אופיינית למרחב וקטורי ממשי <math>\ n</math>-ממדי. כל למרחב וקטורי ממשי <math>\ n</math>-ממדי ''<math>\ V''</math> הוא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפי]] ל-<math>\mathbb{R}^n</math>. אבל האיזומורפיזם איננו קנוני. בחירת איזומורפיזם שקולה לבחירה של [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ל-''<math>\ V''</math> (מתוך התמונה של הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^n</math> ב-''<math>\ V''</math>). לפעמים נוח לעבוד עם מרחב וקטורי שרירותי שאיננו <math>\mathbb{R}^n</math> כדי לא להתחייב לבסיס מסוים.
<br />
<math>\mathbb{R}^n</math> הוא דוגמה אופיינית למרחב וקטורי ממשי n-ממדי. כל למרחב וקטורי ממשי n-ממדי ''V'' הוא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפי]] ל-<math>\mathbb{R}^n</math>. אבל האיזומורפיזם איננו קנוני. בחירת איזומורפיזם שקולה לבחירה של [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ל-''V'' (מתוך התמונה של הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^n</math> ב-''V''). לפעמים נוח לעבוד עם מרחב וקטורי שרירותי שאיננו <math>\mathbb{R}^n</math> כדי לא להתחייב לבסיס מסוים.
 
==המבנה האוקלידי==