סכום ספרות סופי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←‏/מבחן בדיקה צירופי פעולות חשבון ישירות: פסקה לא ברורה, שגם חשיבותה לערך אינה ברורה
מ הגהה עד חצי הערך
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''סכום ספרות סופי''' של [[מספר שלם]] ו[[מספר חיובי|חיוביטבעי]] הוא הסכום ה[[איטרציה|איטרטיבי]] של [[ספרה|ספרותיו]]. במילים אחרות, סכום הספרות הסופי של מספר מתקבל על ידי חישוב סכום ספרותיו, ואז חישוב סכום ספרותיה של התוצאה, וחוזר חלילה, עד אשר מתקבלשמתקבל מספר שלאבן משתנהספרה יותר. תוצאת התהליך הוא מספר שלםאחת, בין 1 ל-9.
 
לדוגמהדוגמה: לחישובחישוב סכום הספרות הסופי של המספר 27,395, : תחילה מחשבים את סכום ספרותיו (2 + 7 + 3 + 9 + 5 = 26), לאחר מכן מחשבים את סכום הספרות של 26 (2 + 6 = 8), אשרשהוא לאמספר משתנהבן יותרספרה ולכןאחת, שהוא התוצאה היא 8.
 
דוגמאות נוספות:
שורה 7:
* 3,856,205 ← 29 ← 11 ← 2
 
לפעולת סכום הספרות הסופי מספר תכונות ההופכות אותה לשימושית בהקשר של מבחני בדיקה ("Sanity check") של פעולות [[אריתמטיקה|אריתמטיות]] (ראו להלן). כמו כן, בעזרתה ניתן לקבוע האם מספר שלם חיובי הוא כפולה של 9, הרי מספר הוא כפולה של 9 [[אם ורק אם]] סכום הספרות הסופי שלו הוא 9.
 
השיטה מתוארת בערך זה בבסיס עשרוני, אך ניתן לעסוק בה בכל [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]]. ב[[בסיס בינארי]] סכום הספרות הסופי של כל מספר טבעי הוא 1.
 
==שיטת הסרת ספרות ה-9==
ניתן לפשט את חישוב סכום הספרות הסופי בעזרת שיטת הסרת ספרות ה-9. לפי שיטה זו, תוצאת פעולת סכום הספרות הסופי של מספר כלשהו זהה לתוצאה של אותו המספר כשהוסרו ממנו כל ספרותהמופעים ה-של הספרה [[9 (מספר)|9]] וכן כל קבוצות הספרות אשר סכומןשסכומן 9.
 
לשם דוגמהלדוגמה ניקח שוב את המספר 84,392,643. יש בו ספרת 9 אחת, אותה ניתן להסיר. כמו כן, 3 + 6 = 9, ומכאן שאפשר להסיר גם את הספרות 3 ו-6. יתר על כך, ניתן להסיר את ה-3 הנוסף ביחד עם 2 ו-4, מפני שהם מסתכמים ל-9. נותרו אם כן רק הספרות המרכיבות את המספר 84, אשר סכום הספרות הסופי שלו הוא 3, כמו שחושב למעלה.
 
אם לאחר הסרת ספרות 9 וקבוצות ספרות שסכומן 9 לא תשארנה ספרות כלל, סכום הספרות הנותרות הוא אפס. אך כאמור סכום ספרות סופי הוא מספר בין 1 ל-9. במקרה הזה, כאשר סכום הספרות הנותרות הינוהוא אפס, תוצאת הפעולה היא 9. כלומר, ישנה זהותשקילות בין התוצאות 0 ו-9.
 
למשל, עבור המספר 45,936,126 מסירים את קבוצות הספרות (45), (9), (36) ו-(126) אשרשכל מסתמכותאחת כולןמהן מסתכמת ל-9, ולא נותרו ספרות. אזי סכום הספרות הסופי של המספר הינוהוא 9.
 
להלן הסבר לפעולת השיטה. חיסור 9 ממספר נתון שקול לחיסור ב-10 והוספת 1. כלומר, ספרת היחידות עולה באחת וספרת העשרות יורדת באחת. סכום שתי ספרות אלה לא משתנה. לפי אותו עיקרון חיסור 90, 900 או כל מספר בצורה <math>9\times 10^k</math>, כאשר k שלם כלשהו, שקול להעברת 1 מספרה אחת לשכנה, דבר אשר לא משנה את ערך סכום הספרות. למעשה, ניתן להסיר כל כפולה של 9 מהמספר בלי לשנות את סכום ספרותיו הסופי, מאחר שהדבר שקול לסדרת הסרות 9 (שכל אחת לא משנה את סכום הספרות הסופי).
 
==הקשר לשארית החילוק ב-9==
לסכום הספרות הסופי של מספר שלם חיובי יש קשר ישיר ל[[שארית (חילוק)|שארית החילוק]] ב-9 של אותו המספר. שניהם זהים – אם התוצאה הינההיא בין 1 ל-8. כאשר השארית היא 0 אז[[אם ורק אם]] סכום הספרות הסופי של המספר הוא 9 ולהיפך. ברישום מתמטי, תהיה <math>S(\cdot)</math> [[פונקציה]] המחזירה את סכום הספרות הסופי ויהיה <math>n</math> שלם חיובי; מתקיים:
 
<math>n \mod 9 = \left\{\begin{array}{ll}S(n),&S(n)\in\{1,\ldots,8\}\\0,&S(n)=9\end{array}\right.</math>
שורה 34 ⟵ 36:
 
===מבחן התחלקות ב-9===
השלכה מיידית מהתכונה המתוארת בפסקה לעיל היא שמספר שלם חיובי הינוהוא כפולה של 9 (כלומר, המספר מתחלק ב-9 ללא שארית) [[אם ורק אם]] סכום הספרות הסופי שלו שווה ל-9.
 
===הפרש בין מספר והיפוכו===
אחת מהתכונות שמתקבלות מההקשר לחילוק במודולו 9 היא כדלקמן: ההפרש בין מספר שלם חיובי כלשהו למספר שמתקבל מהיפוך סדר ספרותיו של אותו מספר הינוהוא כפולה של 9.
 
לדוגמהדוגמה, נתייחס למספר 87,654: <math>9 \times 4,664 = 41,976 = 87,654 - 45,678</math>.
 
הדבר הוא נכון מפני שלמספר והיפוכו אותו סכום ספרות סופי, ולכן הפרש המספרים במודולו 9 הינוהוא 0. מכאן שההפרש מתחלק ב-9.
 
למעשה, הדבר נכון עבור ההפרש בין מספר לכל [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] של ספרותיו, הרימשום תמורהשתמורה לאאינה משנה את סכום הספרות. למשל: <math>9 \times 2,133 = 19,197 = 87,654 - 68,457</math>.
 
==מבחן בדיקה של פעולות אריתמטיות==
ניתן להשתמש בסכום הספרות הסופי ובשיטת הסרת ה-9 על מנת לבדוק נכונות פעולות אריתמטיות בצורה פשוטה ומהירה. גישה זאת מתאימה אפילו לתלמידי בתי ספר, גם אם הם לא ממש מבינים את הלוגיקה של הגישה.
 
השיטות המובאות כאן מבוססות על התכונות של חשבון מודולרי ומהעובדה (האמורה לעיל) כי סכום ספרות סופי הינו שקול לחישוב מודולו 9.
 
===[[סכוםחיבור]]===
נניח שברצוננו לבדוק האם <math>a+b=c</math>. נחשב את סכומי הספרות הסופיים של <math>a</math>,{{כ}} <math>b</math> ו-<math>c</math> ונקרא להם A,{{כ}} B ו-C, בהתאמה. אם סכום הספרות הסופי של <math>A+B</math> שונה מ-<math>C</math>, אזי המשוואה <math>a+b=c</math> אינה נכונה. אחרת, המשוואה יכולה להיות נכונה – אך לא בוודאות.