חבורת גלואה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של Matanyabot (שיחה) לעריכה האחרונה של רחל1 |
מ בוט החלפות: כדי; מאחר ש; |
||
שורה 17:
== דוגמאות ==
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{C} / \mathbb{R} </math> היא קבוצה המכילה שני איברים: את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], ואת [[צמוד מרוכב|העתקת ההצמדה]]. זאת מאחר
*באופן דומה, ניתן להראות כי [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה שני איברים: [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]], והעתקת ההצמדה: <math> \sigma\left(a + b\sqrt{2}\right) = a - b\sqrt{2}</math>
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{R} / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. יתרה מזאת, [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ \mathbb{R} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]].
*תהי <math> \ F / \mathbb{Q}</math> [[הרחבת שדות]]. אזי [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של <math> \ F / \mathbb{Q}</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ F</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(F\right)</math>. זאת מאחר
*יהי <math>\ p</math> [[מספר ראשוני]], ותהי <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> הרחבת שדות, אזי באופן דומה [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של <math> \ K / \mathbb{F}_p</math> היא [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ K</math>, כלומר <math> \ \operatorname{Aut}\left(K\right)</math>.
*חבורת הגלואה של ההרחבה <math> \ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) / \mathbb{Q} </math> מכילה רק את [[פונקציית הזהות|העתקת הזהות]]. זאת מאחר
== שדה השבת ==
שורה 38:
== תכונות ==
*אם ההרחבה <math> \ E / F </math> [[ממד (אלגברה לינארית)|מממד סופי]], מתקיים כי <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| \le \left[E:F\right]</math>, כאשר צד שמאל הוא גודל [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
*השוויון <math>\ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| = \left[E:F\right]</math> מתקיים [[אם ורק אם]] <math> \ E / F </math> [[הרחבת גלואה]]. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר
*[[הלמה של ארטין]]: יהי <math>\ E</math> שדה, ו<math> \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right)</math> [[תת-חבורה]] של [[אוטומורפיזם|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math> \ E</math>. אזי אם <math>\ E^G = F</math> מתקיים <math>\left[E:F\right] \le |G|</math>. מתקיים אפילו <math>G = \operatorname{G}\left(E/F\right)</math>
|