|
במתמטיקה, '''אלגברת האוקטוניונים''' היא [[אלגברת חילוק|אלגברת החילוק]] ה[[אלגברה אלטרנטיבית|אלטרנטיבית]] שאינה [[אלגברה לא אסוציאטיבית|לא אסוציאטיבית]],היחידה ממימד 8, מעל [[שדה המספרים הממשיים]]. זוהיאלגברה זו, ש[[אלגברה לא אסוציאטיבית|אינה אסוציאטיבית]], היא [[אלגברת קיילי]] הידועה ביותר. מקובל לסמן מבנהאת זההמבנה באות <math>\ \mathbb{O}</math>.
אלגברת האוקטוניונים קשורה למספר מבנים מתמטיים יוצאי דופן, וביניהם [[חבורת לי|חבורות לי]] מטיפוס <math>\ G_2</math>. בנוסף, לאוקטוניונים יש שימושים בתחומים כגון [[תורת המיתרים]] ו[[תורת היחסות הפרטית]].
== היסטוריה ==
את האוקטוניונים גילוגילה בשנת 1843 על ידי ג'ון ט. גרייבס, חבר של [[ויליאם המילטון]], שקראלאחר שהלה בנה את [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]; גרייבס קרא להם '''אוקטבות''', ושם זה עדיין נמצא בשימוש.
[[ארתור קיילי]] גילה גם,את האוקטוניונים באופן בלתי תלוי, את האוקטוניונים, ופרסם אותם לראשונה בשנת 1845. האוקטוניונים מוזכריםמוכרים לעתים כ'''מספרי קיילי''' או בתור '''אלגברת קיילי'''.
== הגדרה ==
אפשרהאוקטוניונים לחשובהם, עלכאמור, האוקטוניוניםאלגברה בתורמממד שמיניות8 שלמעל מספריםשדה ממשייםהמספרים הממשיים. כל אוקטוניון הוא צירוף לינארי של '''אוקטוניוני היחידה''' <math>\left\{ 1,i,j,kij,l,il,jl,kl(ij)l \right\}</math>., כלומר, כל אוקטוניון אפשר לכתוב בצורה <math>x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}ij+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}(ij)l</math>, יכולכאשר להיכתב<math>\ בצורה:{{ש}}x_0,\dots,x_7</math> הם מקדמים ממשיים.
<math>x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl</math>{{ש}}
עבור מקדמים ממשיים.
חיבור אוקטוניונים מתבצע על ידי חיבור כל המקדמים המקבילים, כמו אצל המספרים המרוכבים, או הקווטרניונים. כפלהכפל אוקטוניוניםנקבע מתבצעלפי על ידי טבלתלוח הכפל של אוקטוניוני היחידה, שמוצגת להלן: (הגורמים הראשוניםמשמאל הםהוא אלוזה שמצויניםהמוצג בראש השורה שלהם):
{| class="wikitable" style="align: center; text-align: right; margin: auto"
! 1 !! ''i'' !! ''j'' !! ''kij'' !! ''l'' !! ''il'' !! ''jl'' !! ''kl(ij)l''
|-
! ''i''
| −1 || ''kij'' || ''j''- || ''il'' || ''l''- || ''kl(ij)l''- || ''jl''
|-
! ''j''
| ''kij''- || −1 || ''i'' || ''jl'' || ''kl(ij)l'' || ''l''- || ''il''-
|-
! ''kij''
| ''j'' || ''i''- || −1 || ''kl(ij)l'' || ''jl''- || ''il'' || ''l''-
|-
! ''l''
| ''il''- || ''jl''- || ''kl(ij)l''- || −1 || ''i'' || ''j'' || ''kij''
|-
! ''il''
| ''l'' || ''kl(ij)l''- || ''jl'' || ''i''- || −1 || ''kij''- || ''j''
|-
! ''jl''
| ''kl(ij)l'' || ''l'' || ''il''- || ''j''- || ''kij'' || −1 || ''i''-
|-
! ''kl(ij)l''
| ''jl''- || ''il'' || ''l'' || ''kij''- || ''j''- || ''i'' || −1
|}
כך אפשר לראות שאלגברת האוקטוניונים אינה קומוטטיבית (<math>j=-ji\ne ji</math>) ואינה אסוציאטיבית (<math>\left( ij \right)l=-i\left( jl \right)\ne i\left( jl \right)</math>). בחירת הבסיס אינה קנונית - בסיסים סטנדרטיים אחרים נבדלים מן הבסיס שהוצג לעיל בסדר האיברים ובסימן המכפלות.
הבסיס של האוקטוניונים שמוצג כאן הוא בכלל לא אוניברסלי כמו הבסיס הסטנדרטי של הקווטרניונים. בכל מקרה, כמעט כל הבחירות האחרות נגזרות מבסיס זה ושונות רק בסדר ובסימן.
=== בניית קיילי-דיקסון ===
דרךאפשר שיטתית יותר להגדירלבנות את האוקטוניונים היאבאופן שיטתי, מאלגברת הקווטרניונים של המילטון, באמצעות [[בניית קיילי-דיקסון]]. כמובבניה שקווטרניוניםזו, יכוליםכפי להיותשמספרים מוגדרים עלמרוכבים ידיהם זוגות של מספרים מרוכבים,ממשיים האוקטוניוניםוקווטרניונים יכוליםהם להיותזוגות מוגדריםשל מספרים מרוכבים, כל עלאוקטוניון ידיהוא זוגות של קווטרניונים. חיבורהחיבור, מתבצע על ידי חיבור כל רכיבכתמיד, עםהוא המקביללפי לורכיבים. כפל של שני זוגות קווטרניונים <math>\left( a,b \right)</math> ו-<math>\left( c,d \right)</math> מתבצע כך:{{ש}}
<math>\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-\bar{d}b,da+b\bar{c} \right)</math>{{ש}}
כאשר <math>{\bar{z}}</math> מסמל את הצמוד של הקווטרניון <math>z</math>. הגדרה זו שקולה לקודמת, כאשר אוקטוניוני היחידה הם:{{ש}}
<math>\left( 1,0 \right),\left( i,0 \right),\left( j,0 \right),\left( kij,0 \right),\left( 0,1 \right),\left( 0,i \right),\left( 0,j \right),\left( 0,kij \right)</math>.
=== מישור פאנו ===
[[קובץ:Fano_mnemonic3.png|שמאל|ממוזער|250px|עזר זיכרון פשוט לזכירת המכפלות של אוקטוניוני היחידה]]
עזר זיכרון נוח שמאפשר לזכור את המכפלות של אוקטוניוני היחידה נתון בדיאגרמה שלהלן. דיאגרמה זו בעלת 7 נקודות ו-7 קוים (המעגל בין i, j ו-kij נחשב כקו) נקראת מישור פאנו. לקווים יש כיוון בדיאגרמה זאת. שבעת הנקודות מתאימות לשבעת גורמי הבסיס של <math>\Im\left(\mathbb{O}\right)</math>. כל זוג נקודות נמצא על קו יחיד, ועל כל קו יש בדיוק שלוש נקודות.
ניקח <math>a,\ b,\ c</math> בתור שלישיית נקודות שנמצאות על קו ומסודרות לפי כיווני החצים. הכפל מתבצע על ידי{{ש}}
* 1 הוא היחידה הכפלית,
* <math>e^2=-1</math> לכל נקודה בדיאגרמה
מגדירים לגמרי את מבנה הכפל של האוקטוניונים. כל קו יוצר תת-אלגברה של <math>\mathbb{O}</math> שאזורמופיתשהיא איזומורפית לאלגברת הקווטרניונים. למעשה, כל תת-אלגברה של <math>\mathbb{O}</math> היא אחת מ[[אלגברת הרכב|אלגברות ההרכב]] <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, או <math>\mathbb{H}</math>.
=== הצמדה, נורמה והיפוך ===
הצמוד של אוקטוניון{{ש}}
<math>x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}kij+x{4}l+x{5}il+x{6}jl+x{7}kl(ij)l</math>{{ש}}
נתון על ידי:{{ש}}
<math>\bar{x}=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}kij-x_{4}l-x_{5}il-x_{6}jl-x_{7}kl(ij)l</math>{{ש}}
ההצמדה מקיימתהיא [[אינוולוציה (אלגברה)|אינוולוציה]]: <math>\baroverline{\left(xy\right)}=\bar{y}\bar{x}</math>, ו- <math>\ \overline{\overline{x}} = x</math>.
החלק הממשי של <math>x</math> מחושב על ידי <math>\frac{x+\bar{x}}{2}=x_{0}</math>, והחלק המדומה - על ידי <math>\frac{x-\bar{x}}{2}</math>. ▼
הנורמה של האוקטוניון <math>x</math> מוגדרת על ידי:{{ש}}
<math>\left\| x \right\|=\sqrt{\bar{x}x}</math>{{ש}}
השורש הריבועי מוגדר היטב, בגלל שהמכפלה <math>\bar{x}x</math> היא תמיד מספר ממשי אי שלילי:{{ש}}
<math>\left\| x \right\|^{2}=\bar{x}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}</math>{{ש}}
נורמה זאת שווה לנורמה האוקלידית במרחב <math>\mathbb{R}^{8}</math>.
קיום של נורמה על <math>\mathbb{O}</math> מרמזת על קיום של הופכי לכל איבר שאינו אפס. ההופכי של <math>x\ne 0</math> נתון על ידי:{{ש}}
<math>x^{-1}=\frac{{\bar{x}}}{\left\| x \right\|^{2}}</math>{{ש}}
מתקיים ש-<math>xx^{-1}=x^{-1}x=1</math>.
▲החלק הממשי של <math>x</math> מחושב על ידי <math>\frac{x+\bar{x}}{2}=x_{0}</math>, והחלק המדומה (השבעה-ממדי) - על ידי <math>\frac{x-\bar{x}}{2}</math>.
== תכונות ==
כפל באוקטוניונים אינו חילופי:{{ש}}
<math>j=-ji\ne ji</math>{{ש}}
וגם לא קיבוצי:{{ש}}
<math>\left( ij \right)l=-i\left( jl \right)\ne i\left( jl \right)</math>
ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] באלגברת האוקטוניונים מוגדרת לפי <math>\left\| x \right\|=\bar{x}x</math>, וזהו תמיד מספר ממשי לא-שלילי: <math>\left\| x \right\|^{2}=\bar{x}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}</math>. (לפעמים מעוניינים בשורש של הנורמה האלגברית, שהוא האורך של הוקטור במרחב האוקלידי השמונה-ממדי).
האוקטוניונים מקיימים צורה חלשה יותר של קיבוציות: הם [[אלגברה אלטרנטיבית|אלטרנטיביים]]. זאת אומרת, שכל תת-אלגברה שנוצרת על ידי כל 2 איברים היא קיבוצית. למעשה, אפשר להראות שכל תת-אלגברה שנוצרת על ידי 2 איברים של <math>\mathbb{O}</math> היא איזומורפית לאלגברות <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, או <math>\mathbb{H}</math>, וכל אלו חילופיים.
למרות שהאלגברה אינה אסוציאטיבית, הנורמה היא פונקציה כפלית, וכך נעשית אלגברת האוקטוניונים [[אלגברת הרכב]]. עובדה זו אחראית במידה רבה לנוסחת הכפל הפולינומית עבור סכומים של שמונה ריבועים (ראו [[משפט הורוויץ]] על [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]; נוסחת כפל רציונלית נובעת מכך שסכום הריבועים הוא [[תבנית פיסטר]]). הנורמה גם מאפשרת לחשב את ההפכי לכל איבר: ההופכי של <math>x\ne 0</math> נתון על ידי: <math>x^{-1}=\frac{{\bar{x}}}{\left\| x \right\|^{2}}</math>.
לאוקטוניונים תכונה נוספת, שמשותפת לאלגברות <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, וגם <math>\mathbb{H}</math>: הנורמה מקיימת{{ש}}
<math>\left\| xy \right\|=\left\| x \right\|\left\| y \right\|</math>{{ש}}
מה שאומר שהאוקטוניונים הם אלגברת חילוק נורמית.
== ראו גם ==
| 