הבדלים בין גרסאות בדף "חילוק באפס"

נוספו 1,815 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: ca, cs, de, es, fa, fi, fr, gd, it, ja, ko, nl, pl, pt, ru, simple, sv, th, zh)
 
ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של איבר האפס ישירות מהגדרתו כ[[איבר היחידה]] החיבורי: בזכות ה[[דיסטריבוטיביות]] של כפל מעל חיבור לכל <math>\ a</math> מתקיים <math> a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0</math> ולכן לפי [[כלל הצמצום]] החיבורי <math>\ a\cdot0=0</math>. מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באיבר האפס תתן את איבר היחידה הכפלי (איבר האפס תמיד שונה מאיבר היחידה הכפלי), ולכן אפס אינו הפיך.
 
==הגדרות תקפות לחלוקה באפס==
חלוקה באפס אינה מוגדרת מכיוון שלרוב הגדרת המנה לא תועיל בדבר לחקירה המתמטית ויכולה אף להזיק. אולם בהקשרים מתמטיים מסוימים, נוח להגדיר את תוצאת החלוקה באפס, ואין מניעה לעשות זאת.
 
===גבולות עם חלוקה באפס===
מקרה ידוע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] הוא של [[פונקציה ממשית|פונקציות]] שאינן מוגדרות בנקודה בגלל חלוקה באפס. לדוגמה הפונקציה <math>\ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}</math>. לכל <math>\ x</math> שאינו 1 פונקציה זו היא פשוט ה[[פונקציה לינארית|פונקציה הלינארית]] <math>\ f(x)=x+1</math>. אולם בנקודה <math>\ x=1</math> מתקבלת חלוקה באפס ולכן הפונקציה לא מוגדרת. במקרה הזה נקראת הנקודה [[נקודת אי רציפות|נקודת אי רציפות סליקה]], שכן ניתן להתעלם מהחלוקה באפס ולהגדיר <math>\ f(1)=2</math> ומתקבלת [[פונקציה רציפה]]. מקרה חשוב שכזה הוא בפונקציה <math>\ f(x)=\frac{\sin(x)}{x}</math> בנקודה <math>\ x=0</math>. [[הגבול של sin(x)/x|ניתן להוכיח]] כי נקודה זו היא אי רציפות סליקה וניתן לתקן אותה על ידי ההגדרה <math>\ f(0)=1</math>. לעובדה זו יש חשיבות מכרעת במציאת ה[[נגזרת|נגזרות]] של ה[[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות הטריגונומטריות]] וב[[קירוב זוויות קטנות]].
 
==ראו גם==
* [[אפס בחזקת אפס|0<sup>0</sup>]]
 
[[en:Division by zero]]