ממד האוסדורף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יהונתן בראון (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יהונתן בראון (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 6:
[[תמונה:Sierpinski triangle (blue).jpg|שמאל|ממוזער|250px|[[משולש שרפינסקי]] הוא קבוצה שממד האוסדורף שלה הוא ln 3 / ln 2, שהוא בקירוב 1.58]]
באופן אינטואיטיבי, ממד של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] (למשל תת-קבוצה של [[המרחב האוקלידי]]) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא
[[ממד טופולוגי]] מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון [[פרקטל|פרקטלים]]. ל[[קבוצת קנטור]], למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעלת ממד גבוה יותר. ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.
שורה 47:
כלומר ממד האוסדורף של הקבוצה S הוא ה[[אינפימום|החסם התחתון]] של כל ה-d-ים עבורם מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S היא אפס.
=== דוגמאות ===
* ל[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>R^n</math> ממד האוסדורף <math>n</math>.
* ל[[מעגל היחידה]] <math>S^1</math> ממד האוסדורף 1.
* ל[[קבוצה בת-מניה]] ממד האוסדורף 0.
* ל[[קבוצת קנטור]] ממד האוסדורף ln2/ln3.
== ממד פרקטלי ==
ממד האוסדורף לרוב מאוד קשה לחישוב. עבור [[פרקטל|פרקטלים]] מסוימים ממד האוסדורף מתלכד עם הממד הפרקטלי. את הממד הפרקטלי קל יותר לחשב ולכן הוא שימושי יותר.
נוסחת הממד הפרקטלי פועלת על פרקטל בעל תכונת הדמיון העצמי כלמור שהפרקטל מורכב ממספר העתקים מוקטנים של עצמו. כלומר, אם נתמקד בחלק קטן של הפרקטל ונגדיל אותו בסקאלה המתאימה נקבל שוב את את הפרקטל השלם.
=== הגדרה ===
הממד הפרקטלי של S מוגדר להיות:
<math>d=\frac{\mbox{log}(m)}{\mbox{log}(r)}</math>
כאשר:
* r - גורם הכיווץ (כלומר פי כמה נצטרך להקטין את הפרקטל הגדול כדי לקבל עותק מוקטן שלו שמוכל בו.
* m - מספר העותקים - הוא מספר העותקים של הפרקטל המוקטן פי r שמוכלים בפרקטל השלם.
* d - זהו הממד הפרקטלי
=== דוגמאות ===
גורם הכיווץ הוא <math>\ r</math>, מספר העותקים הוא <math>\ m=r^2</math> והממד הפרקטלי הוא:
* <math>\ \mbox{dimension} = \frac{ \log{(N^2)} }{\log{(N)} } = \frac{2 \log{(N)} }{\log{(N)} } = 2 </math>▼
נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.▼
▲
▲נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.
[[קבוצת קנטור]] היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל [[פרקטל]] המוכל בקטע [0,1] ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]]. מהו הממד של קבוצת קנטור?
* בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם. לכן, באיטרציה ה N יש לנו <math>\ 2^N</math> עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי <math>\ 3^N</math> מהאורך המקורי. לכן,
* <math>\
כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מ[[0 (מספר)|אפס]] אך קטן מ[[אחד]].
| |||