ערך זה עוסק בהתאמה בין מבנים מתמטיים. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו איזומורפיזם (פירושונים).
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
במתמטיקה, אִיזוֹמוֹרְפִיזְם הוא התאמה בין שני מבנים מתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם הם איזומורפיים זה לזה. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה העוסקת בהם, גם אם הם נקראים בשמות שונים. מקור המלה מיוונית: "אִיזוֹס" (שווה) ו"מוֹרפֶה" (מבנה).
בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של מרחבים טופולוגיים נקרא "הומיאומורפיזם", איזומורפיזם של יריעות דיפרנציאליות נקרא "דיפאומורפיזם", ואיזומורפיזם של מרחבים מטריים נקרא "איזומטריה". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).
את המונח "איזומורפיזם" טבע המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר במאה ה-19 כדי לתאר קשר בין שני מבנים אלגבריים שהם "בעיקרם זהים". עם זאת, לרעיון האיזומורפיזם יש היסטוריה ארוכה יותר וניתן לייחסו לעבודותיהם של מתמטיקאים מוקדמים יותר כמו אווריסט גלואה ואוגוסטן לואי קושי, אף הם בני המאה ה-19.[דרוש מקור]
אם ו- הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל צמד איברים מתקיים , אז ו- איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים פשוט כ . לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.
רפלקסיביות - ניקח חבורה ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל איבר מתקיים . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן .
סימטריות - עבור צמד חבורות איזומורפיות, ו-, כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא , נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל איבר מתקיים . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם .
טרנזיטיביות - אם עבור שלוש החבורות ו-, קיימות פונקציות ו- שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית כך שעבור כל איבר מתקיים . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן .
באופן דומה, אם ו- הם שני חוגים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל צמד איברים מתקיים , וגם (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז ו- איזומורפיים זה לזה.
באופן דומה, אם ו- הם שני מודולים שמאליים מעל חוג , וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל צמד איברים מתקיים , וגם עבור כל מתקיים , אז ו- איזומורפיים זה לזה.
בנוסף, אם ו- הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל כך שעבור כל צמד איברים מתקיים , וגם עבור כל מתקיים אז ו- איזומורפיים זה לזה.