ערך זה עוסק באי-שוויון על סדרות סופיות. אם התכוונתם לאי-שוויון על משתנים מקריים, ראו
אי-שוויון צ'בישב .
במתמטיקה , אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
a
n
{\displaystyle \ a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}
b
1
≤
b
2
≤
⋯
≤
b
n
{\displaystyle \ b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}
1
n
∑
i
a
i
⋅
1
n
∑
i
b
i
≤
1
n
∑
i
a
i
b
i
{\displaystyle \ {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}\cdot {\frac {1}{n}}\sum _{i}b_{i}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}a_{i}b_{i}}
האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב , שהציג אותו.
למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,
הגרסה המשוקללת: אם
p
1
+
⋯
+
p
n
=
1
{\displaystyle \ p_{1}+\cdots +p_{n}=1}
a
i
,
b
i
{\displaystyle \ a_{i},b_{i}}
∑
p
i
a
i
⋅
∑
p
i
b
i
≤
∑
p
i
a
i
b
i
{\displaystyle \ \sum p_{i}a_{i}\cdot \sum p_{i}b_{i}\leq \sum p_{i}a_{i}b_{i}}
גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז
E
(
f
(
X
)
)
E
(
g
(
X
)
)
≤
E
(
f
(
X
)
g
(
X
)
)
{\displaystyle \ E(f(X))E(g(X))\leq E(f(X)g(X))}
מתאם חיובי.
הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
≤
∫
0
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx\leq \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx.\,}
הוכחת האי-שוויון
עריכה
מכיוון שהמספרים
a
1
,
…
,
a
n
,
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}}
i
,
j
{\displaystyle \,i,j}
0
≤
(
a
j
−
a
i
)
(
b
j
−
b
i
)
{\displaystyle \ 0\leq (a_{j}-a_{i})(b_{j}-b_{i})}
a
i
b
j
+
a
j
b
i
≤
a
i
b
i
+
a
j
b
j
{\displaystyle \ a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i}\leq a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j}}
2
∑
i
a
i
∑
j
b
j
=
∑
i
,
j
(
a
i
b
j
+
a
j
b
i
)
≤
∑
i
,
j
(
a
i
b
i
+
a
j
b
j
)
=
2
n
∑
i
a
i
b
i
{\displaystyle \ 2\sum _{i}a_{i}\sum _{j}b_{j}=\sum _{i,j}(a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i})\leq \sum _{i,j}(a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j})=2n\sum _{i}a_{i}b_{i}}
לקריאה נוספת
עריכה
The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78. קישורים חיצוניים
עריכה
