התפלגות קושי

התפלגות קוֹשִי (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא התפלגות רציפה בעלת חשיבות במתמטיקה ובמספר תחומים בפיזיקה. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעיתים פילוג לורנץ (Lorentz), פילוג ברייט-ויגנר (Breit-Wigner) או לורנציאן.

התפלגות קושי

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ x_{0}$ החציון, $\ \gamma$ סקלה
תומך	$\ \mathbb {R}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
תוחלת	לא מוגדרת
סטיית תקן	לא מוגדרת
חציון	$\ x_{0}$
ערך שכיח	$\ x_{0}$
שונות	לא מוגדרת
אנטרופיה	$\ln(4\,\pi \,\gamma )\!$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	לא מוגדרת
צידוד	לא מוגדר
גבנוניות	לא מוגדרת

הגדרה

התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת פונקציית צפיפות ההסתברות

${\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}$

כאשר $\ x_{0}$ הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו $\ \gamma$ הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות ובהתאם את גובה הערכים. בגבול שבו $\gamma \rightarrow 0$ נקבל את פונקציית הדלתא של דיראק.

תכונות

תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שהתוחלת והשונות שלה אינם מוגדרים, כמו גם המומנטים מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, החציון והשכיח מוגדרים ושניהם שווים $\ x_{0}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות קושי בוויקישיתוף

• התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• התפלגות קושי, באתר MathWorld (באנגלית)
• התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)