זוג סדור

זוג סדור הוא זוג של שני עצמים מתמטיים שקיים סדר ביניהם, כלומר איבר אחד הוא הראשון והאיבר האחר הוא השני (אחרון) בזוג הסדור. ייתכן ששני האיברים זהים. סימונו של הזוג הסדור בו $a$ הוא האיבר הראשון ו-$b$ הוא האיבר השני הוא $(a,b)$.

מההגדרה נובע כי שני זוגות סדורים שווים אם ורק אם האיברים הראשונים שלהם זהים וגם האיברים השניים שלהם זהים. כלומר $(a,b)=(c,d)$ אם ורק אם $a=c$ וגם $b=d$. בכתיבה פורמלית:

$$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$$

זאת לעומת ההגדרה של שוויון בין קבוצות (בתורת הקבוצות), שבו הסדר אינו חשוב, וכך $\{a,b\}=\{b,a\}$. בכתיבה פורמלית:

$$\{a,b\}=\{c,d\}\iff (a=c\land b=d)\lor (a=d\land b=c)$$

מכפלה קרטזית של שתי קבוצות $A$ ו-$B$ היא קבוצת כל הזוגות הסדורים $(a,b)$, כך ש-$a\in A$ ו-$b\in B$.

כאשר הזוג הסדור משמש לציון נקודה במישור, האיבר הראשון (השמאלי) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (הימני) נקרא גם אוֹרְדִינָטָה (Ordinate).

זוג סדור כקבוצה

בשנת 1921 המתמטיקאי היהודי-פולני קזימיר קורטובסקי מצא דרך להגדיר זוג סדור על ידי שימוש ביחסים הבסיסיים של תורת הקבוצות בלבד:

$$(a,b)={\bigl \{}\{a\},\{a,b\}{\bigr \}}$$

הקבוצה הסדורה, המוגדרת בנוסחתו של קורטובסקי, מכילה שני איברים, כמו הזוג הסדור, אלא ששני איברי הקבוצה הסדורה הם בעצמם קבוצות; נקרא להם איבר-קבוצה-א' ואיבר-קבוצה-ב'. איבר-קבוצה-א' מכיל רק את $a$, האיבר הראשון של הזוג הסדור $(a,b)$, ואילו איבר-קבוצה-ב' מכיל בעצמו שני איברים: את $a$ ואת $b$, כלומר את האיבר הראשון של הזוג הסדור ואת האיבר השני שלו.

הקבוצה המוגדרת על פי נוסחת קורטובסקי שונה מהקבוצה המתאימה לזוג סדור בסדר מהופך $(b,a)$ (למעט אם $a=b$ כמובן), כי עכשיו $b$ תופיע הן באיבר-קבוצה-א' והן באיבר-קבוצה-ב' בעוד $a$ תופיע הפעם רק באיבר-קבוצה-ב', ולכן הקבוצה שהוגדרה על פי $(a,b)$ לא תהיה זהה לקבוצה שהוגדרה על ידי $(b,a)$.

n-יה סדורה – סדר מספרים קבוע

הכללה של זוג סדור למקרה הכללי של מספר כלשהו של רכיבים נקראת n-יה סדורה (הנהגית בעברית במלרע: "אֶנְיָה סדורה", על דרך שלישיה, רביעיה, חמישיה... שימו לב שהאות $n$ היא האות האנגלית הקטנה N, ולא האות העברית ח).

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

• זוג סדור, באתר MathWorld (באנגלית)