חבורת פרובניוס

בתורת החבורות, חבורת פרובניוס היא חבורה הפועלת טרנזיטיבית ונאמנה על קבוצה סופית, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. החבורות נקראות על-שם מייסד תורת ההצגות, פרדיננד גאורג פרובניוס.

במחצית הראשונה של המאה ה-20 שימשו חבורות פרובניוס מעין מעבדה לבחינת שיטות שונות בתורת החבורות הסופיות. ב-1959 הוכיח ג'ון תומפסון שכל חבורה כזו היא פתירה. מעט אחר-כך מילאו חבורות פרובניוס תפקיד חשוב בהוכחת משפט פייט-תומפסון (הקובע שכל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה), ובמיון של כמה משפחות חשובות אחרות של חבורות סופיות.

הגרעין והמשלימים

נניח ש-$G$ חבורת פרובניוס, כלומר, היא פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית $X$, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. במקרה כזה, הקבוצה $Q$, הכוללת, בנוסף לאיבר היחידה, את כל איברי $G$ שאינם מייצבים אף נקודה, מהווה תת-חבורה נורמלית של $G$, הנקראת הגרעין (או גרעין פרובניוס) של החבורה. כל אחד מן המייצבים $G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}$ של נקודות $x\in X$ נקרא משלים של $Q$.

חבורת פרובניוס בעלת גרעין פרובניוס טריוויאלי (היינו, חבורה הפועלת טרנזיטיבית נאמנה באופן שבו לכל איבר לא טריוויאלי יש בדיוק נקודת שבת אחת) היא טריוויאלית. אכן, מן הלמה של ברנסייד נובע כי סדר החבורה שווה לסכום גודלי קבוצות השבת, הוא $|X|+|G|-1$, ומכאן ש-$X$ (ולכן גם $G$) בת איבר יחיד.

התכונות הבאות שקולות לכך שחבורה סופית G תהיה חבורת פרובניוס:

• יש ל-$G$ תת-חבורה נורמלית $Q$ בעלת התכונה הבאה: פרט לאיבר היחידה, איברי $Q$ אינם מתחלפים עם איברים מחוץ ל-$Q$.
• יש ל-$G$ תת-חבורה $H$, כך ש- $H\cap xHx^{-1}=1$ לכל איבר $x\not \in H$.

הגרעין הוא תת-החבורה היחידה בעלת התכונה האמורה (והוא שווה לחבורת פיטינג של $G$), אך המשלים אינו יחיד (כל תת-חבורה הצמודה למשלים, גם היא משלים; ואלו כל המשלימים, לפי משפט שור-זסנהאוז). הגרעין $Q$ והמשלים שלו $H$ מקיימים $H\cap Q=1$ ו-$G=HQ$, כלומר, חבורת פרובניוס היא מכפלה ישרה למחצה של הגרעין במשלים שלו. זהו "פירוק Hall", כלומר, הסדרים של $Q$ ושל $H$ הם זרים.

מבנה

גם לגרעין של חבורת פרובניוס וגם למשלימים שלו יש מבנה מוגבל ביותר. תומפסון הוכיח ב-1959 שהגרעין של חבורת פרובניוס הוא חבורה נילפוטנטית. זהו משפט קשה ומורכב. קל הרבה יותר להראות שאם המשלים $H$ מסדר זוגי, אז הגרעין אבלי.

למשלים $H$ יש התכונה שכל תת-חבורה שסדרה מכפלת שני ראשוניים, היא ציקלית. מכאן נובע שכל חבורת סילו של המשלים היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. אם $H$ אינה פתירה, האנס זסנהאוז הראה שהיא, או תת-חבורה שלה מאינדקס 2, הן מכפלה של חבורת המטריצות $SL_{2}(\mathbb {F} _{5})$ בחבורה מטא-ציקלית שסדרה זר ל-30. אם $H$ פתירה, יש לה תת-חבורה מטא-ציקלית נורמלית, כך שהמנה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר 4.

אף תת-חבורה של המשלים אינה חבורת פרובניוס בעצמה.

תת-חבורות וחבורות מנה

כל תת-חבורה נורמלית של $G$ מוכלת בגרעין, או מכילה אותו. אפשר לבנות מחבורת פרובניוס נתונה $G=HQ$ חבורות פרובניוס נוספות, באופנים הבאים:

• אם $Q_{1}\subseteq Q$ ו-$H_{1}\subseteq H$ תת-חבורות, כך ש-$H_{1}\subseteq N_{G}(Q_{1})$ (כלומר, $H_{1}$ מוכל בנורמליזטור של $Q_{1}$), אז $H_{1}Q_{1}$ חבורת פרובניוס.
• בפרט, אם נבחר $Q_{1}=Q$, אז לכל תת-חבורה $H_{1}\subseteq H$, המכפלה $H_{1}Q$ היא חבורת פרובניוס.
• אם $Q_{1}\subseteq Q$ תת-חבורה נורמלית של $G$, אז המנה $G/Q_{1}$ היא חבורת פרובניוס (עם גרעין $Q/Q_{1}$).

תורת ההצגות

אם $\rho$ הצגה אי-פריקה לא טריוויאלית של $Q$, אז ההצגה המושרית $\rho ^{G}$ גם היא אי-פריקה. יתרה מזו, כל הצגה אי-פריקה של $G$ מושרית או מ-$Q$, או מחבורת המנה $G/Q\cong H$. כאשר מצמצמים למשלים $H$ הצגה אי-פריקה המושרית מ-$Q$ ל-$G$, מתקבלת כפולה שלמה של ההצגה הרגולרית של $H$.

מקורות

• W.R. Scott, Group Theory, Section 12.6.
• J.L. Alperin and Rowen B. Bell, Groups and Representations, pp. 170-174.