הגדרה ותכונות יסודיות
עריכה
טופולוגיית זריצקי מוגדרת על מרחב אפיני מממד סופי V = F n {\displaystyle V=F^{n}} , כאשר F {\displaystyle F} שדה כלשהו. יריעות האפסים { x ∈ V : f ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x\in V:f(x)=0\}} עבור הפולינומים f ∈ F [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f\in F[x_{1},\dots ,x_{n}]} מהוות בסיס של קבוצות סגורות לטופולוגיה; לחלופין, הקבוצות U f = { x ∈ V : f ( x ) ≠ 0 } {\displaystyle U_{f}=\{x\in V:f(x)\neq 0\}} מהוות בסיס לטופולוגיה (וזהו אכן בסיס, משום ש-U f ∩ U g = U f g {\displaystyle U_{f}\cap U_{g}=U_{fg}} ). מכיוון שחוג הפולינומים נותרי , הקבוצות הסגורות הן קבוצות מהצורה { x : f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = ⋯ = f m ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x:f_{1}(x)=f_{2}(x)=\cdots =f_{m}(x)=0\}} עבור מספר סופי של פולינומים f 1 , ⋯ , f m {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}} . מסיבה זו, כל קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי היא קומפקטית .
טופולוגיית זריצקי היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל הפונקציות הפולינומיות f : F n → F {\displaystyle f:F^{n}\rightarrow F} הן רציפות , ביחס לטופולוגיה הקו-סופית על F {\displaystyle F} . אכן, הטופולוגיה הקו-סופית היא טופולוגיית זריצקי של F {\displaystyle F} עצמו.
באופן כללי יותר כל העתקה פולינומית בין מרחבים וקטוריים היא רציפה בטופולוגיית זריצקי.
קבוצות האפסים
עריכה
תהי A = k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]} אלגברת הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k {\displaystyle k} , ויהי I ⊂ k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle I\subset k[x_{1},...,x_{n}]} אידיאל כלשהו. נגדיר
V ( I ) = { x ∈ k n | ∀ f ∈ I : f ( x ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)=\left\{x\in k^{n}|\forall f\in I:f(x)=0\right\}} אזי:
V ( 0 ) = k n V ( A ) = ∅ {\displaystyle {\mathcal {V}}(0)=k^{n}\,\ {\mathcal {V}}(A)=\emptyset } .
כל הקבוצות מהצורה V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} הן קבוצות סגורות בטופולוגיית זריצקי.
"הופך סדר הכלה ": I 2 ⊂ I 1 ⟹ V ( I 2 ) ⊃ V ( I 1 ) {\displaystyle I_{2}\subset I_{1}\implies {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})} .
V ( I 1 I 2 ) = V ( I 1 ∩ I 2 ) = V ( I 1 ) ∪ V ( I 2 ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I_{1}I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1}\cap I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})\cup {\mathcal {V}}(I_{2})} .
V ( ∑ λ I λ ) = ⋂ λ V ( I λ ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(\sum _{\lambda }I_{\lambda }\right)=\bigcap _{\lambda }{\mathcal {V}}(I_{\lambda })} .
כל נקודה a ∈ k n {\displaystyle a\in k^{n}} היא קבוצה סגורה (היא מאפסת את האידיאל המקסימלי שנוצר על ידי ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) {\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})} , ראו משפט האפסים של הילברט ). אידיאלים מאפסים
עריכה
נגדיר לכל H ⊂ k n {\displaystyle H\subset k^{n}} את
I ( H ) = { f ∈ A | ∀ x ∈ H : f ( x ) = 0 } = { f ∈ A | f | H = 0 } {\displaystyle {\mathcal {I}}(H)=\left\{f\in A|\forall x\in H:f(x)=0\right\}=\left\{f\in A|\quad f|_{H}=0\right\}} זהו אידיאל ב-A {\displaystyle A} . אזי:
זהו אידיאל רדיקלי : I ( H ) = I ( H ) {\displaystyle {\sqrt {{\mathcal {I}}(H)}}={\mathcal {I}}(H)} .
משפט האפסים של הילברט :
V ( I ( H ) ) = H ¯ {\displaystyle {\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(H))={\overline {H}}} (הסגור של H).
לכל אידיאל I ⊂ A {\displaystyle I\subset A} מתקיים I ( V ( I ) ) = I {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}} .
"הופך סדר הכלה": H 1 ⊂ H 2 ⟹ I ( H 1 ) ⊃ I ( H 2 ) {\displaystyle H_{1}\subset H_{2}\implies {\mathcal {I}}(H_{1})\supset {\mathcal {I}}(H_{2})}
I ( V ( I 2 ) ) ⊂ I ( V ( I 1 ) ) ⟺ I 2 ⊂ I 1 ⟺ V ( I 2 ) ⊃ V ( I 1 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))\subset {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}\subset {\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})} .
I ( V ( I 2 ) ) = I ( V ( I 1 ) ) ⟺ I 2 = I 1 ⟺ V ( I 2 ) = V ( I 1 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))={\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}={\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})} .מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הקבוצות הסגורות של k n {\displaystyle k^{n}} לבין האידיאלים הרדיקליים של A = k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]} . ניתן להכליל זאת ל-k {\displaystyle k} -אלגברה כללית A {\displaystyle A} כאשר את k n {\displaystyle k^{n}} מחליפה M a x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Max} (A)} שהיא קבוצת האידיאלים המקסימליים של A {\displaystyle A} . במקרה ש-A {\displaystyle A} היא אלגברת הפולינומים k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]} ניתן להראות באמצעות משפט האפסים של הילברט (בגרסתו החלשה) ש-M a x ( k [ x 1 , . . . , x n ] ) ≅ k n {\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}} .
מהאמור לעיל, M a x ( k [ x 1 , . . . , x n ] ) ≅ k n {\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}} . במקרה הזה, ניתן לראות שההתאמה בין אידיאל מקסימלי ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי
a → = ( a 1 , . . . , a n ) ⟷ ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},...,a_{n})\longleftrightarrow (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})} כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את האידיאל הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה,
V ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) = ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n}\right)=(a_{1},...,a_{n})} .כעת, יהי I {\displaystyle I} אידיאל בחוג k [ x ] {\displaystyle k[x]} , אזי a ∈ V ( I ) {\displaystyle a\in {\mathcal {V}}(I)} אם ורק אם לכל f ∈ I {\displaystyle f\in I} מתקיים ש-f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} , כלומר: לכל f ∈ I {\displaystyle f\in I} מתקיים ( x − a ) | f ( x ) {\displaystyle (x-a)|f(x)} , כלומר: האידיאל הנוצר על ידי f {\displaystyle f} מוכל באידיאל המקסימלי הנוצר על ידי ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} . נכליל זאת: x ∈ V ( I ) ⟺ I ⊂ M x {\displaystyle x\in {\mathcal {V}}(I)\iff I\subset M_{x}} כאשר M x {\displaystyle M_{x}} הוא האידיאל המקסימלי המתאים ל-x {\displaystyle x} .
באמצעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k {\displaystyle k} -אלגברה A {\displaystyle A} טופולוגיית זריצקי לא רק על M a x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Max} (A)} אלא גם על S p e c ( A ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (A)} - אוסף האידיאליים הראשוניים של A {\displaystyle A} . ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה:
יהי I {\displaystyle I} אידיאל ב-A {\displaystyle A} , אזי אידיאל ראשוני P {\displaystyle P} שייך ל-V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} אם ורק אם I ⊂ P {\displaystyle I\subset P} , ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} להיות הקבוצות הסגורות ב-S p e c ( A ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (A)} . הכללה זו מובילה למושג הסכמה (ראו סכמה אפינית ).
המרחבים הטופולוגיים המתקבלים כספקטרום של חוג קומוטטיבי נקראים מרחבים ספקטרליים (אנ' ) .
לקריאה נוספת
עריכה
T.A. Springer, Linear Algebraic Groups , chapter 1 קישורים חיצוניים
עריכה