מבנה (מתמטיקה)
במתמטיקה, מבנה הוא מונח לא פורמלי המציין יחסים לא טריוויאליים (שאינם מתקיימים תמיד) בין איבריה של קבוצה. המבנה של קבוצה נותן לה משמעות וחשיבות, ובמידה מסוימת ניתן להגדיר את המתמטיקה כולה כתורה של חקר מבנים.
בלוגיקה מתמטית מפרמלים את המונח מבנה כדי שניתן יהיה לעסוק בו באופן ריגורוזי.
מבנים בתחומים שונים במתמטיקה עריכה
ניתן לאפיין את תחומי המתמטיקה השונים על פי סוג המבנים הנחקרים בהם. האלגברה עוסקת בחקר מבנים אלגבריים, מבנים בהם מוגדרת פעולה בין איברים; אנליזה מתמטית עוסקת בעיקר בחקר מרחבים מטריים, מבנים בהם מוגדר מרחק בין איברים; טופולוגיה עוסקת בחקר מרחבים טופולוגיים הכלליים יותר, בהם יש מובן לקרבה בין איברים; ואילו תורת המספרים מוקדשת ברובה לחקירתו של מבנה אחד ויחיד – חוג המספרים השלמים. תורת הקטגוריות ותורת הקבוצות עוסקות בחקר מבנים כלליים באשר הם.
דוגמה מוכרת למבנה היא קבוצת המספרים הטבעיים, לה מבנה עשיר המתבטא בפעולת החיבור והכפל והסדר הטוב המוגדרים על איבריה. אפשרי שעל קבוצה מסוימת יוגדר יותר ממבנה אחד בעל עניין ובתחומים שונים יבחרו להתרכז במבנים שונים של אותה קבוצה. למשל על קבוצת המספרים הממשיים ניתן לחשוב בין השאר כעל שדה (באלגברה מופשטת), כעל ישר (בגאומטריה), כעל מרחב מטרי שלם (בטופולוגיה) או כעל יריעה חלקה (בגאומטריה דיפרנציאלית). לעיתים מבנה מעניין של קבוצות מסוימות מהווה תמריץ למציאת קבוצות נוספות בעלות מבנה דומה. כך למשל המבנה "מרחב וקטורי", הנחקר במסגרת האלגברה הליניארית, מוגדר על ידי חיקוי תכונותיו המוצלחות של המרחב האוקלידי, שבעצמו מוגדר על ידי חיקוי תכונותיהם של המישור הדו-ממדי ושל המרחב תלת-ממדי.
מבנה המזכיר במידה מסוימת (לעיתים באופן קלוש מאוד) את החלל התלת-ממדי נקרא מרחב. זהו הבדל סמנטי בלבד ואין לו משמעות מתמטית פורמלית.
הומומרפיזמים בין מבנים עריכה
ערכים מורחבים – הומומורפיזם, תורת הקטגוריות
בהינתן שתי קבוצות בעלות מבנה מאותו סוג (לדוגמה שתי חבורות) ניתן (בדרך כלל) להגדיר את מושג ההומומורפיזם ביניהם. הומומורפיזם היא העתקה בין הקבוצות, המכבדת את המבנים במובן מסוים. מכאן שאוסף כל הקבוצות המצוידות במבנה מסוג מסוים מהווה קטגוריה.
בפרט התאמה בין שתי קבוצות המראה שיש להן אותו מבנה נקראת איזומורפיזם. כאשר מבנה אחד מוכל בתוך מבנה אחר מאותו הסוג הוא נקרא תת-מבנה (למשל תת-חבורה).
