מודול פשוט

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג $R$ הוא מודול $M$ שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-$M$ עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $M=Rx$), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $R/L$ כאשר $L$ אידיאל שמאלי של $R$. המודול $R/L$ פשוט בדיוק כאשר $L$ אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של $R/L$ הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-$L$; לכן $R$ חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

דוגמאות

• המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
• תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
• חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
• הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.

קישורים חיצוניים

• מודול פשוט, באתר MathWorld (באנגלית)