מסה אפקטיבית

בפיזיקה של מצב מוצק, המסה האפקטיבית של חלקיק במוצק, שלרוב מסומנת ב-$m^{*}$, היא המסה שנדמה שיש לחלקיק כאשר מפעילים עליו כוחות. כלומר, אם יופעלו אותם כוחות על חלקיק חופשי בעל מסה ששווה למסה האפקטיבית, הוא ינוע באותו אופן.

אחת התוצאות של תורת הפסים היא שתנועתם של חלקיקים בתוך מוצק יכולה להיות מאוד שונה מתנועתם בוואקום. המסה האפקטיבית היא פרמטר שמקשר בין מכניקת הקוונטים לבין המכניקה הקלאסית. היא מאפשרת, בהרבה מקרים, לפשט את מורכבותה של תורת הפסים ושל מכניקת הקוונטים ולהתייחס אל החלקיקים בתור חלקיקים קלאסיים שתנועתם מתוארת על ידי חוקי התנועה של ניוטון, כאשר כל הכוחות הפנימיים והמאפיינים הקוונטים מגולמים על ידי המסה האפקטיבית. המסה האפקטיבית היא פישוט שנועד לאפשר התייחסות לחלקיקים הנ"ל בתור חלקיקים חופשיים הנמצאים בוואקום, אך בעלי מסה שונה ממסתם האמיתית.

עבור אלקטרונים וחורים במוצקים, המסה האפקטיבית לרוב נמדדת ביחידות של המסה האמיתית של האלקטרון $m_{e}$, והיא לרוב נעה בין $0.01m_{e}$ ל-$10m_{e}$, אך יכולה גם לחרוג מערכים אלו בחומרים אקזוטיים שונים. על אף שהיא לרוב נחשבת קבוע של החומר, המסה האפקטיבית של החלקיק יכולה לקבל מספר ערכים תלוי בהגדרתה ובשימושה.

כיוון שהיא מפשטת את תורת הפסים ומכניסה את השפעתה לקבוע אחד, המסה האפקטיבית הפכה להיות קבוע בסיסי וחשוב שמשפיע על מספר רב של מאפיינים מדידים של המוצק, מיעילותם של תאים סולרים ועד מהירות פעולתם של מעגלים משולבים.

הסבר התופעה

אם נניח מודל סמי-קלאסי של המוצק, נוכל להתייחס אליו כמורכב מסריג של יונים שבתוכו נעים אלקטרונים, כאשר ביניהם פועלים כוחות חשמליים. כאשר מופעל כוח על המוצק (לדוגמה שדה חשמלי) הוא אינו פועל על אלקטרון בודד אלא על כל המוצק, ובפרט גם על הסריג היוני. האינטראקציה המלאה בין האלקטרונים לסריג מסובכת, אך ניתן לקרבה על ידי מודל אלקטרונים כמעט חופשיים, על פי מודל זה האלקטרונים נעים כמעט בחופשיות בסריג אך מסוגלים להעביר ולקבל תנע מהסריג בהתאם לתנע הגבישי שלהם ולמיקומו ביחס לאזור ברילואן.

אפשר לחשב את העברת התנע בין האלקטרונים לסריג תחת הקירוב הנ"ל, והיא יכולה להתבטא במספר דרכים:

• כאשר אין העברת תנע בין האלקטרונים לסריג, כלומר הכוח החיצוני משפיע ישירות על האלקטרונים ללא השפעה של הסריג, מקבלים שהאלקטרונים מתנהגים כאלקטרונים חופשיים אמיתיים ונקבל $m^{*}\approx m_{e}$.
• כאשר תנע מועבר מהאלקטרון לסריג, כלומר הכוח החיצוני נבלע בחלקו על ידי הסריג, מקבלים שהאלקטרון מושפע מהכוח במידה פחותה, כלומר מתנהג כאלקטרון כבד יותר $m^{*}>m_{e}$.
• כאשר תנע מועבר מסריג לאלקטרון, כלומר הסריג "עוזר" לכוח החיצוני ומאיץ את האלקטרון אף יותר, מקבלים שהאלקטרון מושפע מהכוח במידה מוגברת, כלומר מתנהג כאלקטרון קל יותר $m^{*}<m_{e}$, זהו המקרה הנפוץ ביותר במוליכים למחצה.

חשוב לזכור כי המסה האפקטיבית אינה משנה את משקלו האמיתי של המוצק וכמו כן החוק השני של ניוטון אינו מופר אם מתייחסים לגביש בשלמותו (כולל היונים בגביש).

מסה אפקטיבית שלילית

בכל המקרים לעיל ההתייחסות הייתה לגודלו של הכוח המופעל אך לא לכיוונו, המסה האפקטיבית תצא שלילית אם כיוונו של הכוח שהאלקטרון חווה מנוגד לכיוונו של הכוח החיצוני.

דבר זה קורה בקצהו העליון של פס הערכיות במוליכים למחצה. בנקודה זאת ניתן לומר שהסריג מעביר לאלקטרון תנע שהפוך בכיוונו לכוח החיצוני ועל כן האלקטרונים יאיצו בכיוון שהפוך לאינטואיציה. מכיוון שפס הערכיות כמעט מלא באלקטרונים, התנהגות לא אינטואיטיבית זאת הולידה את המונח חורים, ולכן בפס הערכיות לא מדברים על תנועתם של אלקטרונים אלא על תנועתם של החורים, בצורה מקבילה להתייחסות לבועת אוויר במיכל מים כמעט מלא, שגם הוא בעל "מסה שלילית" במובן שהוא נע הפוך לכוח החיצוני שפועל עליו (כוח הכבידה, לדוגמה).

הקירוב הפראבולי

מבנה הפסים עבור סיליקון, גרמניום, גליום ארסניד ואינדיום ארסניד כפי שמתקבל על פי המודל של תיחום חזק, ניתן לראות שתחתית פס ההולכה (בכחול) וקצהו העליון של פס הערכיות (שאר הצבעים) הם בקירוב פרבולות.

בצורתה הפשוטה ביותר, המסה האפקטיבית מוגדרת בתנאי שיווי משקל במוליכים למחצה, במצב זה האלקטרונים החופשיים במוליכים למחצה ישאפו לתחתית פס ההולכה בזמן שהחורים החופשיים ישאפו לקצהו העליון של פס הערכיות, ולכן נרצה לנתח את תנועתם והתנהגותם של החורים והאלקטרונים סביב נקודות אלו.

המקרה האיזוטרופי

לרוב הביטוי המדויק עבור צורת הפס הוא מסובך, אך תמיד ניתן לפתחו בטור טיילור סביב נקודות הקצה הנ"ל. מכיוון שזהו פיתוח סביב נקודות הקיצון, הסדר הראשון יתאפס ובסדר המוביל נקבל

$$E({\vec {k}})=E_{0}+A{\vec {k}}^{2}$$

כאשר $E_{0}$ היא האנרגיה בקצה הפס, $A$ קבוע התלוי בתכונות החומר ו$k$ הוא וקטור הגל בתוך הפס.

נרצה ליצור אנלוגיה לתנועתו של חלקיק חופשי, עבור חלקיק חופשי האנרגיה הקינטית נתונה על ידי ${\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}$, וכיוון שעל פי תורת הקוונטים ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ אזי ניתן לרשום מחדש את הביטוי למעלה בתור

$$E({\vec {k}})=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m^{*}}}$$

כאשר $\hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם והחלפנו את המסה האמיתית בקבוע $m^{*}$, שנקרא המסה האפקטיבית.

השימוש במסה האפקטיבית הוא קירוב שנובע מהפיתוח לטור טיילור, ועל כן תקפות הקירוב היא כל עוד התקפות לקירוב של צורת הפס לטור טיילור תקפה, אך ברוב המקרים אפשר להתייחס לאלקטרון בתחתית בור או לחור בקצהו העליון של הבור בתור חלקיקים קלאסיים שנשלטים על ידי משוואות התנועה הקלאסיות.

המקרה האנאיזוטרופי

ברוב המקרים (לדוגמה, בסיליקון) מבנה הפסים אינו סימטרי באופן כללי, ובפרט ליד נקודות הקיצון, מסיבה זאת הפיתוח ליד נקודות אלו יהיה:

$$E({\vec {k}})=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}k_{x}^{2}}{2m_{x}^{*}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{y}^{2}}{2m_{y}^{*}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m_{z}^{*}}}$$

כאשר $m_{x}^{*},m_{y}^{*},m_{z}^{*}$ הם המסות האפקטיביות לאורך הצירים השונים. עכשיו כבר תנועת חלקיק בודד אינה בת השוואה לחלקיק חופשי, מכיוון שהוא יגיב לכוחות בצורה שונה בהתאם לכיוון הכוח.

המקרה הכללי

ניתן להכליל את הגדרת המסה האפקטיבית שתהיה תקפה מחוץ לנקודות הקיצון, הגדרה זאת תהיה תקפה גם מחוץ לתנאי שיווי משקל וכמו כן גם במוצקים אחרים שאינם בהכרח מוליכים למחצה.

המקרה הווקטורי

בהתאם לפיתוחים שנראו לעיל, ניתן להגדיר את המסה האפקטיבית מתוך פס האנרגיה בתור

$$m_{i}^{*}={\frac {\hbar ^{2}}{\dfrac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}^{2}}}}$$

כאשר $i$ יכול להיות כל אחד מהכיוונים $x,y,z$, המסה האפקטיבית המתקבלת היא וקטור.

כפי שנאמר, הגדרה זאת תקפה בכל מקום בפס האנרגיה וגם מחוץ לנקודות הקיצון, אך חשוב לשים לב שבנקודות אלו המסה האפקטיבית כבר מאבדת ממשמעותה המקורית שכן קיימים עוד איברים בטור הטיילור, ביניהם האיבר הליניארי. התייחסות למסה האפקטיבית באותו אופן, כפישוט של תורת הקוונטים והקבלתה לפיזיקה קלאסית, גורר תופעות לא אינטואיטיביות כגון תלות מסת החלקיק בווקטור הגל $k$ (התנע הגבישי) ועל כן מסתו של החלקיק תשתנה כאשר יופעל עליו כוח.

המקרה הטנזורי

ניתן אף להכליל את המסה האפקטיבית להיות טנזור מדרגה 2 שמוגדר על ידי

$$m_{ij}^{*}={\frac {\hbar ^{2}}{\dfrac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$

כאשר הצירים מתאימים לצירים קריסטלוגרפיים ואנחנו מסתכלים סביב נקודות הקיצון, האיברים הלא אלכסונים תמיד יתאפסו ונחזור למקרה הווקטורי.

גרפן ומקרים לא פארבולים

אזור ברילואן הראשון של גרפן, ניתן לראות שיחס הדיספרציה הוא הליניארי סביב נקודות ההשקה ועל כן ההגדרה הכללית של מסה אפקטיבית אינה תקפה.

ההגדרה הכללית למסה האפקטיבית היא ההגדרה הנפוצה ביותר, אך היא בעייתית במקרים שבהם לא ניתן לקרב את צורת פס האנרגיה לפרבולה, במקרים אלו הנגזרת השנייה של האנרגיה מתאפסת והביטוי למסה האפקטיבית מתבדר. דוגמה מובהקת לתופעה מתרחשת בגרפן, שם יחס הדיספרסיה קרוב לנקודות הקיצון הוא ליניארי (לפעמים נאמר שלאלקטרונים אלו מסה 0, אך הכוונה למסת מנוחה, מושג שונה ממסה אפקטיבית).

כפתרון לבעיה, ניתן להגדיר את המסה האפקטיבית בצורה נוספת, שלעיתים נקראת המסה האפקטיבית האופטית, דרך הנוסחה

$$m^{*}={\dfrac {p}{v_{g}}}=\hbar ^{2}k\left({\dfrac {\partial E}{\partial k}}\right)^{-1}$$

כאשר $p$ זהו התנע הגבישי ו- $v_{g}$ זוהי מהירות החבורה של פונקציית הגל. ניתן להראות, שכאשר החומר איזוטרופי, הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה הכללית ועם ההגדרה של מסה אפקטיבית של ציקלוטרון.

מדידות של המסה האפקטיבית בגרפן מאששות את היחס הנ"ל.

יש לשים לב שבשתי ההגדרות המסה האפקטיבית לא תהיה מוגדרת היטב בנקודת הקיצון עצמה, שכן יחס הדיספרסיה שם אינו חלק.

מסות אפקטיביות שונות

ברוב הגבישים המסה האפקטיבית תהיה וקטור או אף טנזור והיא תהיה תלויה בכיוון, דבר שהוא כבר אינו בר השוואה לאלקטרון חופשי באופן מלא, זאת מכיוון שהתאוצה שהאלקטרון יחווה תשתנה בהתאם לכיוון הפעלת הכוח עליו. למרות זאת, ישנן תופעות פיזיקליות וחישובים שבהם המסה האפקטיבית בכל זאת מתנהגת כסקלר שמתקבל בתור סוג של מיצוע, אך דרך המיצוע תלויה במטרה:

• עבור חישוב צפיפות המצבים, כל כיוון תורם בצורה שווה ולכן המסה האפקטיבית הרלוונטית היא הממוצע הגאומטרי של המסה האפקטיבית בצירים השונים, כלומר המסה האפקטיבית הרלוונטית היא

$$m_{DoS}^{*}=g^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{m_{x}^{*}m_{y}^{*}m_{z}^{*}}}$$

כאשר $g$ נקרא מקדם הניוון והוא סופר כמה פעמים כל מצב אנרגטי קיים (לדוגמה, עבור סיליקון $g=6$)

• עבור חישוב המוליכות חשמלית ברב-גביש בעזרת מודל דרודה, הכיוונים השונים של המסה האפקטיבית מתמצעים גם כן, אך הפעם בצורה הרמונית, ונקבל שהמסה האפקטיבית הרלוונטית היא

$$m_{\text{conductivity}}^{*}=3{\Bigg [}{\frac {1}{m_{x}^{*}}}+{\frac {1}{m_{y}^{*}}}+{\frac {1}{m_{z}^{*}}}{\Bigg ]}^{-1}$$

מדידת המסה האפקטיבית

המסה האפקטיבית היא פרמטר שניתן למדידה ישירה בעזרת ניסוי רסונס של ציקלוטרון. כאשר מפעילים שדה מגנטי אחיד מוצק, האלקטרונים והחורים יתחילו לנוע בצורה ספירלית בתדירות שניתנת על ידי

$$\omega _{c}={\frac {qB}{m^{*}}}$$

כאשר $q$ הוא מטען האלקטרון, ו-$B$ זהו גודל השדה המגנטי. כאשר משדרים גלי רדיו על הדוגמה בתדר הנ"ל ניתן להבחין בבליעה חזקה, רסונס, בעזרת ניסוי זה אפשר לחלץ את המסה האפקטיבית. על ידי שינוי הכיוון של השדה המגנטי ניתן למדוד את המסה האפקטיבית בכיוונים שונים.

מלבד דרך זאת ישנן מספר דרכים עקיפות למדידת המסה האפקטיבית.

חשיבות המסה האפקטיבית

מבנה הפסים של גליום ארסניד תחת המודל של תיחום חזק, ניתן לראות את החורים ה"כבדים", ה"קלים" וכמו כן חורים נוספים שנמצאים במרחק אנרגטי קטן.

החשיבות של המסה האפקטיבית באה ליד ביטוי ביכולתנו למדוד אותה בקלות, להשוות את ערכה בין חומרים שונים ובכך לחזות את תכונותיהם. בשל כך היא מאפיין חשוב של חומרים, ובספרות המקצועית ניתן למצוא טבלאות של המסה האפקטיבית עבור חומרים רבים.

המסה האפקטיבית משפיעה, בין השאר, על התכונות הבאות:

• חישובי צפיפות המצבים של חומרים שונים, אשר משפיעה על התכונות האופטיות והחשמליות של החומר.
• המוביליות של האלקטרונים והחורים. אינטואיטיבית, חלקיקים קלים יותר ינועו בקלות יותר בהשפעת שדה חשמלי ועל כן המוביליות שלהם תגדל. המוביליות משפיעה בתורה על מספר תכונות החשמליות של החומר, מהולכה חשמלית, דרך מהירות פעולתם של מעגלים חשמליים ועד יעילותם של תאים סולארים.

לדוגמה, מוליכים למחצה שמשלבים חומרים מהטור השלישי והחמישי (כגון גליום ארסניד) נוטים להיות בעלי מסה אפקטיבית קטנה יותר מאשר מוליכים למחצה מהטור הרביעי (כגון סיליקון), ולכן הם בשימוש נרחב יותר באלקטרוניקה מהירה כגון תקשורת סלולרית, תקשורת לוויינים, מערכות רדאר וכו'.

• במספר רב של חומרים קיימים כמה סוגים של חורים בעלי מסה אפקטיבית שונה, כך שקיימים המושגים "חורים קלים" ו"חורים כבדים", הדבר הוא בעל חשיבות עליונה בננו-גבישים שכן הדבר משפיע על פער האנרגיה של הפסים ועל תכונות הננו-גביש, התופעה נצפתה באופן ניסיוני והיא הבסיס למספר פיתוחים חדשניים.

לקריאה נוספת

• Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics (8rd Edition). p. 191–205. ISBN 978-0-471-41526-8.
• Donald Neamen. Semiconductor Physics And Devices (3rd Edition). p. 70–83. ISBN 978-0-072-32107-4.
• S. M. Sze and Kwok K. Ng. Physics of Semiconductor Devices (3rd Edition). ISBN 978-0-471-14323-9.