מספר קפרקר

מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר. המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.

בניסוח מדויק יותר, $X$ הוא מספר קפרקר (בבסיס $b$) אם אפשר לפרק $X=A+B$ כך שמתקיים עבור שלם $n$ כלשהו: $\ X^{2}=A\cdot b^{n}+B$, כאשר $\ B<b^{n}$.

תיאור מלא

Iannucci (ראו מקור להלן) הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של $\ b^{n}-1$ לגורמים זרים. היינו, אם $\ b^{n}-1=dd'$ כאשר d ו- 'd זרים, ו- $\ t$ הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים $\ 0<t<d'$, אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה. כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה $\ b^{n}-1$.

דוגמאות

דוגמה: 9 הוא מספר קפרקר, מכיוון ש- 81 = 9² ו- 9 = 1 + 8. גם 95121 מקיים את אותה תכונה:

95121² = 9048004641.

מספר זה ניתן לפצל לשני המספרים

90480 + 04641 = 95121

וכך חזרנו אל המספר המקורי. לכן 95121 הוא מספר קפרקר.

בסימוני התיאור לעיל, $\ 9999=d\cdot d'$ עבור d=2439 ו- d'=41, וההפכי הוא $\ 41^{-1}\equiv 39{\pmod {2439}}$; המספר 95121 מתקבל כמכפלה $\ 2439*39$.

מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.

קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה $\ b^{n}-1$ הוא מספר קפרקר: $\ (b^{n}-1)^{2}=b^{2n}-2b^{n}+1$ ומספר זה ניתן לפצל לרישא $\ b^{n}-2$ ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי $\ b^{n}-1$ (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה). לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.

קישורים חיצוניים

• מספר קפרקר, באתר MathWorld (באנגלית)

• D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, Journal of Recreational Mathematics, 13 (1980-1981), 81-82.
• M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
• Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html

• מספרי קפרקר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים