מספר רוסבי

בתיאור של מערכות מסתובבות במכניקת הזורמים, מספר רוסבי הוא גודל חסר ממד המתאר את היחס בין ההתמד לכוח קוריוליס במערכת. במערכת בה המהירות האופיינית היא $U$, האורך האופייני הוא $L$ ותדירות קוריוליס היא $f=2\Omega \sin \phi$, כוח קוריוליס הוא מסדר גודל של $\mathbf {u} \times \Omega \sim Uf$ וההתמד הוא מסדר גודל של $(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \sim U^{2}/L$. מספר רוסבי הוא:

$Ro={\frac {U}{Lf}}$

למספר רוסבי חשיבות רבה באוקיינוגרפיה ובמדעי האטמוספירה, שכן הוא קובע באילו תנאים יש להתייחס לסיבוב כדור הארץ בתיאור המערכת, ובאילו תנאים סיבוב כדור הארץ זניח.

המספר נקרא על שמו של המטאורולוג קרל-גוסטב רוסבי , שחקר את השפעת סיבוב כדור הארץ על מזג האוויר בין שנות ה-20 לשנות ה-40 של המאה ה-20. לפעמים נקרא המספר מספר קיבל, על שמו של איליה קיבל , שפיתח את התחום באופן מקביל בברית המועצות.

פיתוח

במערכת המסתובבת בתדירות קבועה, ותחת ההנחה שהצמיגות זניחה (מספר ריינולדס גבוה) משוואות נאוויה-סטוקס מקבלות את הצורה:

$\left(\partial _{t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} -2\Omega \times \mathbf {u} -\Omega \times (\Omega \times \mathbf {r} )$

כאשר האיבר הראשון בצד שמאל הוא התאוצה, האיבר השני מייצג את ההתמד. האיבר הראשון בצד ימין הוא כוחות הנובעים מלחצים, השני מתאר את השפעת הגרביטציה, השלישי הוא כוח קוריוליס והרביע הוא הכוח הצנטרפיטלי הנובע מסיבוב המערכת וניתן להזנחה. מספר רוסבי מתאר את היחס בין ההתמד לכוח קוריוליס. עבור מספר רוסבי גבוה, ההתמד גדול בהרבה מכוח קוריוליס והשפעת כוח קוריוליס על המערכת זניחה. כאשר מספר רוסבי נמוך, המערכת נשלטת על ידי שילוב של ההתמד וכוח קוריוליס.

דוגמאות

התדירות האופיינית של סיבוב כדור הארץ היא מסדר גודל של $f=10^{-4}1/s$.

לעיתים נטען כי כיוון סיבוב המים בכיור אמבט הוא עם כיוון השעון בחצי הכדור הצפוני ונגד כיוון השעון בחצי הכדור הדרומי, טענה זו אינה נכונה, וניתן להראות זו באמצעות מספר רוסבי. המהירות האופיינית של המים בזרימה בכיור היא מסדר גודל של $U\sim 10m/s$ וגודל הכיור הוא מסדר גודל של $L\sim 1m$ לכן מספר רוסבי בכיור הוא $Ro={\frac {U}{Lf}}\sim 10^{5}\gg 1$ כלומר חוק קוריוליס זניח, והזרימה נקבעת רק מאיבר ההתמד.

באופן דומה, עבור סופות טורנדו המהירות האופיינית של הרוח היא מסדר גודל של $U\sim 50m/s$ ורוחב הסופה הוא מסדר גודל של $L\sim 500m$ לכן מספר רוסבי עבור סופות אלו הוא: $Ro={\frac {U}{Lf}}\sim 10^{3}$. כלומר מספר רוסבי הוא גבוה, לפיכך גרדיאנט הלחצים בטורנדו מתאפס על ידי הכוח הצנטריפיטלי של הטורנדו (להבדיל מהכוח הצנטריפיטלי הנובע מסיבוב כדור הארץ) שהוא הביטוי של ההתמד במערכת. זרימה כזו נקראת זרימה סייקלוסטרופית (cyclostrophic). העובדה שכוח קוריוליס במערכת זניח מובילה לכך שכיוון הסיבוב של הטורנדו תלוי רק בתנאי ההתחלה להיווצרותו, ולא במיקום הטורנדו על פני כדור הארץ, ובפרט בשתי ההמוספירות טורנדו יכול להסתובב עם ונגד כיוון השעון.

זרימת האוויר מסביב לשקע ברומטרי בחצי הכדור הצפוני. מספר רוסבי של המערכת נמוך, ולפיכך כוח קוריוליס משפיע על המערכת. כוח גרדיאנט הלחץ מיוצג על ידי חיצים כחולים, ותאוצת קוריוליס (הניצבת למהירות) מיוצגת על ידי החיצים האדומים.

לעומת זאת, בשקעים ברומטרים מהירות הרוח היא מסדר גודל של $U\sim 10m/s$ והגודל האופייני של השקע הוא מסדר גודל של $L\sim 100-1000km=10^{5}-10^{6}m$ לכן מספר רוסבי הוא $Ro={\frac {U}{Lf}}\sim 0.1-1$. כלומר כוח קוריוליס אינו זניח ויש לו חשיבת באיפוס גרדיאנט הלחצים. בפרט, עבור שקעים גדולים הרחוקים מספיק מקו המשווה, נקבל שמספר רוסבי קטן מאוד ואיבר ההתמד זניח, כך שכוח קוריוליס לבדו הוא שמאזן את גרדיאנט הלחצים; זרימה כזו נקראת זרימה גאוסטרופית (geostrophic). הלחץ במרכז השקע נמוך מהלחץ בשוליו כלומר גרדיאנט הלחץ מפעיל כוח על האוויר כלפי לב השקע. כדי לאזן את הכוח הזה נדרש שכוח קוריוליס ידחוף את הזורם אל מחוץ לשקע. לכן נקבל שהזרימה בחצי הכדור הצפוני היא נגד כיוון השעון, בעוד הזרימה בחצי הכדור הדרומי היא עם כיוון השעון.

בסופות ליד קו המשווה, תדירות קוריוליס קטנה מאוד, ולכן מספר רוסבי גדול מאוד והזרימה היא סייקלוסטרופית. זרימה כזו היא מאוד לא יציבה בקנה מידה גדול, ולכן רק לעיתים נדירות סופות נוצרות בקו רוחב נמוך מ-5 מעלות. מאז 1956 תועדו רק 17 סופות בקו רוחב נמוך מ-3 מעלות.

עבור מספרי רוסבי בתחומי ביניים, $Ro\sim 1$ הזרימה מתקבלת כתוצאה משילוב של חוק קוריוליס וההתמד. זרימה כזו נקראת זרימה סייקלוגאוסטרופית (cyclogeostrophic)