מערכת דינקין

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.

משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.

הגדרות

תהי $X$ קבוצה.

• משפחה של תת-קבוצות ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ נקראת מערכת-π, אם לכל $A,B\in {\mathcal {E}}$ מתקיים $A\cap B\in {\mathcal {E}}$.
• משפחה של תת-קבוצות ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
  1. $X\in {\mathcal {L}}$
  2. לכל $A,B\in {\mathcal {L}}$ המקיימות $A\subseteq B$, מתקיים $B\setminus A\in {\mathcal {L}}$.
  3. לכל סדרה $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}}$ המקיימת $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...$, מתקיים כי $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}}$.

יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ.

תהי $P\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

• נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $P$ להיות $\sigma (P)$. זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $P$.
• נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי $P$ להיות $\lambda (P)$. זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את $P$.

משפט π−λ

משפט: תהי $X$ קבוצה ותהי ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ מערכת-π. אזי $\sigma ({\mathcal {E}})=\lambda ({\mathcal {E}})$.

נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות $P\subset {\mathcal {P}}(X)$ מתקיים $\lambda (P)\subset \sigma (P)$. משפט π−λ מוסיף כי אם $P$ היא מערכת-π, אז $\lambda (P)$ היא למעשה סיגמא-אלגברה.

הוכחה

• נראה כי $\lambda ({\mathcal {E}})$ סגורה לחיתוך.

  למה: לכל $E\in {\mathcal {E}}$ נגדיר ${\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\subseteq X|A\cap E\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\}$. אזי ${\mathcal {L}}_{E}$ היא מערכת-λ המכילה את ${\mathcal {E}}$.

  הוכחת הלמה: ברור כי ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {L}}_{0}$. נראה כי היא מערכת-λ.

  ברור כי $X\in {\mathcal {L}}_{E}$. יהיו $A,B\in {\mathcal {L}}_{E}$ המקיימות $A\subseteq B$. מתקיים כי $E\cap (B\setminus A)=(E\cap B)\setminus (E\cap A)$, וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-$\lambda ({\mathcal {E}})$, לכן $B\setminus A\in {\mathcal {L}}_{E}$. בהינתן סדרה $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}}_{E}$ העולה ביחס להכלה, אז ברור כי $E\cap (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\bigcup _{i=1}^{\infty }(E\cap A_{i})$, לכן $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}}_{E}$.

  מסקנה: $\lambda ({\mathcal {E}})$ סגורה לחיתוכים סופיים.

  הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל $E\in \lambda ({\mathcal {E}})$ מתקיים כי ${\mathcal {L}}_{E}$ היא מערכת-λ המכילה את $E$, לכן נובע כי $\lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{E}$.

  יהיו $A,B\in \lambda ({\mathcal {E}})$. נגדיר ${\mathcal {L}}_{A}=\left\{B\subseteq X|B\cap A\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\}$. באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי ${\mathcal {L}}_{A}$ היא מערכת-λ המכילה את ${\mathcal {E}}$, ומכך נובע כמו קודם כי $\lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{A}$, כלומר לכל $B\in \lambda ({\mathcal {E}})$ מתקיים $A\cap B\in \lambda ({\mathcal {E}})$.

• נסיק כי $\lambda ({\mathcal {E}})$ היא סיגמא-אלגברה.

  סגירות למשלים: תהי $A\in \lambda ({\mathcal {E}})$. מהיות $\lambda ({\mathcal {E}})$ מערכת-λ נובע כי $X\in \lambda ({\mathcal {E}})$, ולכן גם $A^{\complement }=X\setminus A\in \lambda ({\mathcal {E}})$.

  סיגמא אדיטיביות: תהי $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq \lambda ({\mathcal {E}})$. נציג $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcup _{i=1}^{N}A_{i}$, וברור כי הסדרה $\left\{\bigcup _{i=1}^{N}A_{i}\right\}_{N=1}^{\infty }$ עולה ביחס להכלה, ולכן $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \lambda ({\mathcal {E}})$.

שימוש יסודי

משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

טענה: תהי ${\mathcal {E}}$ מערכת-π על מרחב X, ויהי $(X,\,\sigma ({\mathcal {E}}))$ המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי $\mu$ מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת $E\in {\mathcal {E}}$ המקיימת $\mu (E)<\infty$. אזי המידה $\mu$ נקבעת ביחידות על כל $\sigma ({\mathcal {E}})$, על-פי ערכיה על ${\mathcal {E}}$.

בפרט למשל עבור המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה $\mu$ על $\mathbb {R} ^{n}$ שמקיימת:

$\mu ([a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot ...\cdot (b_{n}-a_{n})$

לכל $a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R}$ עבור $1\leq i\leq n$.

הוכחה: יהיו $\mu _{1},\mu _{2}$ זוג מידות המזדהות על המערכת-π ${\mathcal {E}}$. נקבע $E\in {\mathcal {E}}$ המקיימת $\mu _{1}(E)<\infty$. נסמן ${\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\in \sigma \left({\mathcal {E}}\right)|\mu _{1}(A\cap E)=\mu _{2}(A\cap E)\right\}$. ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את ${\mathcal {E}}$, ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את $\lambda ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}})$. כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי $F\in \sigma ({\mathcal {E}})$ נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:

$\mu _{1}(F)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\mu _{2}(F)$