מרחב אולטרה-מטרי

מרחב אולטרה-מטרי הוא מרחב שמוגדרת עליו מטריקה המקיימת את האקסיומה $\ d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}$ (פונקציה כזו נקראת אולטרה-מטריקה). מטריקה היא אולטרה-מטריקה אם ורק אם כל משולש בה הוא שווה-שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות. אכן, כל מרחב אולטרה-מטרי ניתן לשיכון איזומטרי בשדה עם הערכה.

במרחב אולטרה-מטרי כל נקודה בכדור היא מרכז של הכדור. כל כדור הוא פתוח וסגור. אם שני כדורים אינם זרים, אז אחד מהם מוכל בשני. קבוצת המרחקים בהשלמה של מרחב אולטרה-מטרי שווה לקבוצת המרחקים במרחב המקורי (זאת בניגוד לסתם מרחב מטרי, שבו נוצרים בהשלמה בדרך כלל מרחקים חדשים).

מרחב טופולוגי שהטופולוגיה שלו מושרית על ידי אולטרה-מטריקה הוא מרחב אולטרה-מטריזבילי. מרחב טופולוגי הוא לא ארכימדי אם הוא האוסדורף ויש לו בסיס שבו כל שתי קבוצות שאינן מוכלות זו בזו הן זרות. מרחב הוא אולטרה-מטריזבילי אם ורק אם הוא מטריזבילי ולא ארכימדי. כל מכפלה בת-מניה של מרחבים אולטרה-מטריזביליים היא אולטרה-מטריזבילית.

קבוצת הכדורים מהווה בסיס של המרחב, ומכיוון שהכדורים במרחב אולטרה-מטרי הם פתוחים-וסגורים, המרחב בלתי קשיר לחלוטין (מאידך, מרחב מטרי שלם ובלתי קשיר לחלוטין אינו בהכרח אולטרה-מטריזבילי). מרחב טופולוגי הוא אולטרה-מטריזבילי וספרבילי אם ורק אם הוא האוסדורף, מקיים את תכונת המניה השנייה ויש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות.

מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם וספרבילי. כל חלוקה של מרחב כזה לקבוצות פתוחות-וסגורות מוכרחה להיות סופית. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי מקומית הוא איחוד של כדורים קומפקטיים. מרחב אולטרה-מטרי הוא ספרבילי אם ורק אם קבוצת הכדורים שלו בת מניה.

דוגמאות

• שדה המספרים ה-p-אדיים הוא אולטרה-מטרי.
• בגרף לא מכוון עם משקלות חיוביים, משקל המסלול המיני-מקס (המסלול בעל משקל קשת מקסימלי הקטן ביותר) מגדיר אולטרה-מטריקה.

שלמות ספירית

מרחב מטרי הוא שלם אם החיתוך של סדרה מקוננת של כדורים שרדיוסם שואף לאפס אינו ריק. מרחב מטרי נקרא שלם-ספירית אם החיתוך של כל סדרה מקוננת של כדורים אינו ריק. כל מרחב שלם-ספירית הוא שלם. ההפך נכון אם 0 היא נקודת ההצטברות היחידה של ערכי המטריקה. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם-ספירית.

אחת התכונות החשובות ביותר של מרחבים מטריים שלמים היא משפט הכיווצים של בנך: לכל פונקציה דוחסת (כזו המקיימת $\ d(f(x),f(y))<c\cdot d(x,y)$ לכל $\ x\neq y$, כאשר $c<1$) יש נקודת שבת יחידה. בדומה לזה, במרחב שלם-ספירית, אפילו לכל פונקציה מכווצת (כזו המקיימת $\ d(f(x),f(y))<d(x,y)$ לכל $\ x\neq y$) יש נקודת שבת יחידה.

לקריאה נוספת

• Summary on non-Archimedean valued fields, Angel Barria Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018). [1].

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מרחב אולטרה-מטרי בוויקישיתוף

• מרחב אולטרה-מטרי, באתר MathWorld (באנגלית)