משוואות פרנה-סרה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי $\gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}$ בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה. חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציות עקמומיות ופיתול רגולריות, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.

תהי ${\vec {\gamma }}\in C^{3}[0,L]$ עקומה רגולרית ($\ |{\vec {\gamma }}'(s)|\neq 0$) וגזירה שלוש פעמים ברציפות בפרמטר הטבעי. נגדיר וקטור משיק על ידי

$\ {\vec {v}}(s)={\vec {\gamma '}}(s)=d{\vec {\gamma }}/ds$

מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. כאן אין בחירה יחידה של וקטור נורמלי ולכן נגדיר את ${\vec {n}}$ באופן הבא:

${\vec {n}}(s)={\frac {\gamma ''(s)}{|\gamma ''(s)|}}$

נשים לב שגם הוא וקטור יחידה. כאן, מגדירים את העקמומיות להיות

$\ k(s)=|\gamma ''(s)|$

נשלים זוג וקטורים אלה לבסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, ${\vec {b}}(s)$ הניצב לווקטור המשיק ולווקטור הנורמל שמוגדר על ידי

$\ {\vec {b}}(s)={\vec {v}}(s)\times {\vec {n}}(s)$

כלומר, על ידי מכפלה וקטורית של הווקטורים הקודמים. וקטור זה נקרא "בי-נורמל", וגם הוא וקטור יחידה.

משוואות פרנה טוענות ש-

• ${\vec {v'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {v}}(s)=+k(s){\vec {n}}(s)$
• ${\vec {n'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {n}}(s)=-k(s){\vec {v}}(s)+\tau (s){\vec {b}}(s)$
• ${\vec {b'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {b}}(s)=-\tau (s){\vec {n}}(s)$

כאשר $\ k(s)$ היא העקמומיות ו-$\ \tau (s)$ הוא הפיתול (גודל המודד כמה רחוקה העקומה מלהיות מישורית, עקומה עם פיתול אפס מוכלת כולה במישור דו-ממדי). זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות ומסדר ראשון. נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:

$\left[{\begin{array}{c}{\vec {v'}}\\{\vec {n'}}\\{\vec {b'}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}0&+k(s)&0\\-k(s)&0&+\tau (s)\\0&-\tau (s)&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\vec {v}}\\{\vec {n}}\\{\vec {b}}\end{array}}\right]$

נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית. עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.

פרשנויות ויישומים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

קינמטיקה של מערכת הייחוס

מערכת הייחוס פרנה-סרה של חלקיק הנע לאורך הליקס (עקום בורגי) במרחב.

הווקטור המשיק T, הנורמל N, והבינורמל B, יוצרים יחד בסיס אורתונורמלי למרחב התלת-ממדי. משוואות פרנה-סרה מתאימות לפיכך לכל נקודה על העקום במרחב מערכת ייחוס טבעית, או מערכת קואורדינטות, שנכנה אותו מערכת פרנה-סרה.

למערכת פרנה-סרה ניתן לתת פרשנות קינמטית. נדמיין שצופה (חלקיק או גוף למשל) נע לאורך העקום בזמן, ומשתמש במערכת הייחוס פרנה-סרה כמערכת הקואורדינטות שלו. משוואות פרנה-סרה מבטאות את העובדה שמערכת קואורדינטות זאת סובבת בקביעות במהלך התנועה של הצופה לאורך העקום המרחבי. מכאן, מערכת הקואורדינטות הזאת היא תמיד לא אינרציאלית. התנע הזוויתי של מערכת הקואורדינטות של הצופה הוא פרופורציונלי לווקטור דארבוקס של מערכת הייחוס.

מהאיור השני ניתן לראות שהעקמומיות במשוואות פרנה-סרה מודדת את קצב הסיבוב של מערכת הקואודינטות של הצופה מסביב לווקטור הבינורמל B, בעוד שהפיתול מודד את קצב הסיבוב של מערכת הקואורדינטות מסביב לווקטור המשיק T. כשמבינים את הפרשנות הקינמטית בדרך זאת, ניתן לראות שאם הצופה היה גוף מרחבי (כלומר לא חלקיק נקודתי) אשר מערכת הקואורדינטות מתארת את האוריינטציה שלו במרחב, אזי הפיתול היה משול לקצב הגלגול (roll) הרגעי של הגוף, בעוד העקמומיות הייתה משולה לקצב הסבסוב (yaw).

ראו גם

• עקומה
• משוואות פרנה (צמצום לעקומים במישור דו-ממדי)

קישורים חיצוניים

• משוואות פרנה-סרה, באתר MathWorld (באנגלית)