משוואת רציפות

משוואת רציפוּת (או משוואת רצף) היא משוואה דיפרנציאלית המתארת מעבר פיזי במרחב של גודל פשיט (גודל אקסטנטיבי) כלשהו. משוואת רציפות היא כלי פשוט ועוצמתי, במיוחד כשהיא מיושמת על כמות נשמרת (כלומר שקיים עבורה חוק שימור), אבל ניתן להכליל אותה עבור כל גודל פשיט. מאחר שמסה, אנרגיה, תנע, מטען חשמלי וכן גדלים טבעיים נוספים נשמרים, ניתן לתאר מגוון של תופעות פיזיקליות באמצעות משוואות רציפות.

משוואת רציפות היא צורה מקומית וחזקה יותר של חוק שימור. לדוגמה, גרסה חלשה של חוק שימור האנרגיה קובעת שלא ניתן ליצור או להשמיד אנרגיה. כלומר, כמות האנרגיה הכוללת ביקום היא קבועה. אמירה זו אינה שוללת את האפשרות שאנרגיה יכולה להיעלם מנקודה אחת ובו זמנית להופיע בנקודה אחרת. אמירה חזקה יותר היא שאנרגיה נשמרת גם באופן מקומי: אנרגיה לא יכולה להיווצר או להיעלם, וגם לא יכולה "להתעתק" ממקום אחד למשנהו – היא יכולה לנוע רק בזרימה רציפה. משוואת רציפות היא הדרך המתמטית לבטא אמירה כזו. לדוגמה, משוואת הרציפות עבור מטען חשמלי קובעת שכמות המטען החשמלי בכל נפח כלשהו יכולה להשתנות רק בהתאם לכמות הזרם החשמלי שזורם לתוך נפח זה או החוצה ממנו דרך המעטפת שלו.

באופן כללי יותר, משוואת רציפות יכולה לכלול איברי מקורות ואיברי מִבלעים (מקורות שליליים), המאפשרים לתאר כמויות שלעיתים קרובות נשמרות אך לא תמיד, כמו צפיפות של מין מולקולרי (Molecular species), אותו ניתן ליצור או להשמיד על ידי תגובות כימיות. דוגמה יומיומית: יש משוואת רציפות למספר האנשים החיים בעולם; יש להם "מקורות" שמהם אנשים נולדים, ו"מִבלעים" המייצגים מוות של אנשים.

לכל משוואת רציפות יש צורה אינטגרלית (המבטאת את הרציפות במונחים של שטף), החלה על כל אזור סופי, וצורה דיפרנציאלית (המבטאת את הרציפות במונחים של אופרטור הדיברגנץ) החלה על נקודה מסוימת.

משוואות רציפות עומדות בבסיס משוואות הולכה ספציפיות יותר כמו משוואת הסעה-דיפוזיה (Convection–diffusion equation), משוואת ההולכה של בולצמן ומשוואות נאוויה-סטוקס.

ניתן להמחיש זרימות הנשלטות על ידי משוואות רציפות באמצעות דיאגרמת סאנקי (Sankey diagram).

המשוואה הכללית

הגדרת צפיפות שטף

ערך מורחב – שטף

משוואת רציפות שימושית כאשר ניתן להגדיר צפיפות שטף. כדי להגדיר צפיפות שטף, חייבת להיות כמות $q$ שיכולה לזרום או לנוע ממקום למקום, כגון מסה, אנרגיה, מטען חשמלי, תנע, מספר מולקולות וכדומה. נניח ש־$\rho$ היא הצפיפות הנפחית של כמות זו, כלומר כמות $q$ ליחידת נפח.

הדרך שבה כמות זו זורמת מתוארת על ידי צפיפות השטף שלה. צפיפות השטף של $q$ הוא שדה וקטורי, המסומן ב־${\vec {J}}$. להלן כמה דוגמאות ומאפיינים של צפיפות שטף:

• גודל צפיפות השטף הוא הכמות $q$ הזורמת ביחידת זמן, דרך יחידת שטח. לדוגמה, במשוואת רציפות המסה עבור מים זורמים, אם זורמים 1 גרם של מים לשנייה בצינור בעל שטח חתך של 1 סמ"ר, אז צפיפות שטף המסה הממוצעת ${\vec {J}}$ בצינור הוא 1 $g/(s\cdot cm^{2})$, והכיוון שלה הוא לאורך הצינור בכיוון זרימת המים. מחוץ לצינור אין מים ולכן צפיפות השטף היא אפס.
• אם יש וקטור מהירות ${\vec {u}}$ שמתאר זרימה (במילים אחרות, כל הכמות $q$ בנקודה $x$ נעה במהירות $u(x)$), אז צפיפות השטף שווה בהגדרתה לצפיפות הנפחית כפול וקטור המהירות: ${\vec {J}}=\rho {\vec {u}}$. במשוואת רציפות המסה עבור מים זורמים, לדוגמה, אם ${\vec {u}}$ היא מהירות המים בכל נקודה, ו-$\rho$ היא צפיפות המים בכל נקודה, אז ${\vec {J}}$ יהיה שטף המסה.
• צפיפות שטף המטען החשמלי נקראת צפיפות זרם.
• עבור משטח $S$, האינטגרל המשטחי על צפיפות השטף דרך $S$ הוא הכמות $q$ שעוברת דרך המשטח $S$ ליחידת זמן:

${\frac {dq}{dt}}=\iint _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}$

צורה אינטגרלית

בצורה האינטגרלית של משוואת הרציפות, S יכול להיות כל משטח סגור שסוגר במלואו נפח V כלשהו, כמו כל אחד מהמשטחים משמאל. S לא יכול להיות משטח עם שפה, כמו המשטחים בצד ימין

הצורה האינטגרלית של משוואת הרציפות קובעת כי:

• הכמות $q$ באזור כלשהו גדלה כאשר כמות נוספת זורמת פנימה דרך מעטפת האזור, ופוחתת כאשר היא זורמת החוצה;
• הכמות $q$ באזור גדלה כאשר נוצרת כמות חדשה בתוך האזור, ופוחתת כאשר כמות מושמדת;
• מלבד שתי האפשרויות הללו, אין דרך אחרת בה הכמות $q$ באזור יכולה להשתנות.

מבחינה מתמטית, הצורה האינטגרלית של משוואת הרציפות המבטאת את קצב העלייה של $q$ בתוך נפח $V$ היא:

${\frac {dq}{dt}}+$$\scriptstyle S$$\ {\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}=\Sigma$

כאשר:

• $S$ הוא משטח סגור כשלהו, המקיף את הנפח $V$
• ${\textstyle \oiint _{S}}$ מציין אינטגרל משטחי על אותו משטח סגור
• $q$ הוא הכמות הכוללת של הכמות בנפח $V$
• ${\vec {J}}$ הוא צפיפות השטף של $q$
• $t$ הוא הזמן
• $\Sigma$ הוא קצב ההיווצרות של $q$ בתוך הנפח $V$. כאשר נוצר $q$, נאמר שיש מקור של $q$, המגדיל את $\Sigma$. כאשר $q$ מושמד, נאמר שיש מִבלע של $q$, המקטין את $\Sigma$.

לדוגמה, $V$ יכול להיות בניין ו-$q$ יכול להיות מספר האנשים בבניין כלשהו. המשטח $S$ מורכב מקירות, דלתות, גג ויסוד הבניין. משוואת הרציפות קובעת שמספר האנשים בבניין גדל כאשר אנשים נכנסים לבניין (יש שטף פנימה דרך המשטח), קטֵן כאשר אנשים יוצאים מהבניין (יש שטף החוצה דרך המשטח), גדל כאשר נולד מישהו בבניין (מקור – $\Sigma >0$), וקטן כאשר מישהו בבניין מת (מִבלע – $\Sigma <0$).

צורה דיפרנציאלית

לפי משפט הדיברגנץ (משפט גאוס), ניתן לכתוב משוואת רציפות כללית גם בצורה דיפרנציאלית:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=\sigma$

כאשר:

• $\nabla \cdot$ הוא אופרטור הדיברגנץ
• $\rho$ הוא הכמות $q$ ליחידת נפח – צפיפות נפחית
• ${\vec {J}}$ היא צפיפות השטף של $q$
• $t$ הוא הזמן
• $\sigma$ הוא ההיווצרות של $q$ ליחידת נפח ליחידת זמן. איברים שיוצרים $q$ (כלומר, $\sigma >0$) או משמידים $q$ (כלומר, $\sigma <0$) מכונים "מקור" ו"מבלע" בהתאמה.

ניתן להשתמש במשוואה כללית זו כדי לקבל כל משוואת רציפות, החל ממשוואה פשוטה כמו משוואת רציפות הנפח וכלה במשוואות מסובכות כמו משוואות נאוויה-סטוקס. משוואה זו מכלילה גם את משוואת ההסעה (Advection). למשוואות אחרות בפיזיקה, כמו חוק השדה החשמלי של גאוס וחוק הכבידה של גאוס , יש צורה מתמטית דומה למשוואת הרציפות, אך בדרך כלל לא מתייחסים אליהן כמשוואת רציפות, מכיוון ש-${\vec {J}}$ באותם מקרים אינו מייצג זרימה של גודל פיזיקלי ממשי, אלא שדות.

במקרה בו $q$ היא כמות שקיים עבורה חוק שימור, כלומר שלא ניתן ליצור או להשמיד אותה (כגון אנרגיה), אז $\sigma =0$ והמשוואה תהיה מהצורה:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}=0$

דוגמאות

אלקטרומגנטיות

ערך מורחב – צפיפות זרם

באלקטרומגנטיות, משוואת הרציפות עבור המטען היא חוק אמפירי המבטא שימור מטען (מקומי). מבחינה מתמטית משוואה זו נובעת ישירות ממשוואות מקסוול, אם כי שימור המטען הוא יסודי יותר ממשוואות מקסוול. משוואת הרציפות קובעת שדיברגנץ צפיפות הזרם ${\vec {J}}$ שווה לקצב השינוי השלילי של צפיפות המטען $\rho$:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

$\partial _{\mu }j^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0$

כאשר $j^{u}=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right)$ הוא 4-וקטור צפיפות הזרם והמטענים החשמליים

זרם הוא תנועה של מטענים. משוואת הרציפות אומרת שאם מטען יוצא מתוך נפח דיפרנציאלי (כלומר, הדיברגנץ של צפיפות הזרם חיובי) אזי כמות המטען בתוך הנפח הזה יורדת, כך שקצב השינוי בצפיפות המטען הוא שלילי. לכן, משוואת הרציפות מסתכמת בשימור מטען.

אם קיימים מונופולים מגנטיים, תהיה משוואת רציפות גם עבור זרמי מונופולים מגנטיים.

חוק אמפר בצורתו המקורית: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}$ לא מקיים את משוואת הרציפות הזאת. לפי החוק, צפיפות הזרם פורפורציונית לרוטור השדה המגנטי, ולכן מתמטית הדיברגנץ של צפיפות הזרם חייב להתאפס תמיד, דבר שסותר את משוואת הרציפות כאשר צפיפות הזרם משתנה בזמן. זו אחת מהבעיות בחוק המצריכות את תיקון מקסוול והגדרת זרם העתקה על מנת שהמשוואה תתקיים.

מכניקת הזורמים

במכניקת הזורמים, משוואת הרצף קובעת כי, בתהליך יציב, קצב הכניסה של המסה למערכת שווה לקצב היציאה של המסה מן המערכת. המשוואה בהצגה דיפרנציאלית נראית כך:

$${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

כאשר:

• $\ \rho$ – צפיפות הזורם
• $\ \mathbf {u}$ – וקטור מהירות הזורם
• $\ t$ – הזמן
• $\operatorname {div} =\nabla \cdot$ – אופרטור הדיברגנץ ($\nabla$ – נבלה, האופרטור הדיפרנציאלי של המרחב).

במערכות בהן הצפיפות קבועה (נוזל שאינו דחיס), מהירות הזרם נשארת קבועה לאורך כל הזורם:

$$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$$

משוואה זו נכונה, מכיוון שכאשר הצפיפות והנפח קבועים, המהירות אינה יכולה להיות שונה בחלקים שונים של הזרימה, אחרת אחד מהשניים יהיו חייבים להשתנות עם הזמן.

ראו גם

• חוק שימור
• צפיפות זרם

קישורים חיצוניים

• משוואת רציפות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)