משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי

אם $K$ הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-$C(K)$ את מרחב הפונקציות הרציפות $f\colon K\to \mathbb {C}$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת $L_{\infty }$: $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in K}|f(x)|$.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה $A$ של $C(K)$ היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארצלה אסקולי: תהי $A\subseteq C(K)$ קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-$A$ קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם $A$ רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם $A\subseteq C(K)$ סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז $A$ קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם $A$ חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-$A$ סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך $A$. מכאן ש-$A$ מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

מסקנה: אופרטור האינטגרל $T\colon C(K)\to C(K)$ המוגדר $\ T(f)=\int _{a}^{b}k(s,t)f(t)\,\mathrm {d} t$, כאשר $k$ גרעין רציף על $K\times K$, הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט

כיוון ראשון

תהי $A\subseteq C\left(K\right)$ קבוצה חסומה ונניח שאיברי $A$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-$A$ יש תת-סדרה מתכנסת. תהי $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת פונקציות ב-$A$. תהי $\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ סדרה צפופה ב-$K$ (קיימת כזאת כי $K$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה $\left\{f_{n}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$. זוהי סדרה חסומה ב-$\mathbb {C}$ בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-$\left\{f_{n}^{1}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ ואת גבולה ב-$\xi _{1}$. כעת נתבונן בסדרה $\left\{f_{n}^{1}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$. גם זו סדרה חסומה ב-$\mathbb {C}$ לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-$\left\{f_{n}^{2}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ ואת גבולה ב-$\xi _{2}$. וכך בתהליך איטרטיבי לכל $m\in \mathbb {N}$ נגדיר את הסדרה $\left\{f_{n}^{m}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ להיות תת-סדרה מתכנסת של $\left\{f_{n}^{m-1}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ ואת גבולה נסמן ב-$\xi _{m}$.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון $\left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ המוגדרת לכל $n$ כך $g_{n}:=f_{n}^{n}$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-$n$-י שלה הוא האיבר ה-$n$-י בסדרה ה-$n$-ית).

1. זוהי תת-סדרה של $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$.
2. לכל $k\in \mathbb {N}$ הסדרה $\left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת ל-$\xi _{k}$ שכן הזנב שלה, $\left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=k}^{\infty }$, הוא תת-סדרה של $\left\{f_{n}^{k}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$.

יהי $\varepsilon >0$. אברי $A$ רציפים במידה אחידה לכן קיים $\delta >0$ כך שלכל $x,y\in K$ ולכל $n\in \mathbb {N}$, אם $d\left(x,y\right)<\delta$ אזי $|g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(y\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}$ (כאשר $d$ היא פונקציית המטריקה ב-$K$). אבל $K$ קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר $\delta$ שנסמנם ב-$O_{1},\dots ,O_{l}$.

לכל $1\leq i\leq l$ קיים $k_{i}\in \mathbb {N}$ כך ש-$x_{k_{i}}\in O_{i}$ (כי $\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ צפופה ב-$K$). כמו כן הסדרה $\left\{g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת ל-$\xi _{k_{i}}$ לכן לפי תנאי קושי קיים $N_{i}$ כך שלכל $n,m>N_{i}$ מתקיים $|g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. נסמן $N:=\max(N_{i})$. כעת, לכל $n,m>N$ ולכל $x\in K$ קיים $1\leq i\leq l$ כך ש-$x\in O_{i}$ ומתקיים מאי שוויון המשולש$|g_{n}\left(x\right)-g_{m}\left(x\right)|\leq |g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{m}\left(x_{k_{i}}\right),g_{m}\left(x\right)|<\varepsilon$. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה $\left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת במידה שווה.

קישורים חיצוניים

• דניאלה ליבוביץ, 7: קומפקטיות, טופולוגיה קבוצתית, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, עמ' 159–160 (הקישור אינו פעיל, 2020-06-11) (אורכב 11.06.2020 בארכיון Wayback Machine). הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.