משפט ההתכנסות המונוטונית

בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים. זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת. המתמטיקאי האיטלקי בפו לוי תרם רבות לפיתוח משפט זה.

ניסוח

יהי $\left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)$ מרחב מידה. תהי $\ f_{1},f_{2},\dots$ סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות $0\leq f_{n}\leq f_{n+1}$ עבור כל $n=1,2,\dots$ כמעט בכל מקום. נכתוב $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}$ (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים $\ \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu$.

הוכחה

ראשית יש לשים לב כי הגבול $f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}(x)}$ קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.

הכיוון $\geq$ ברור, כי $f\geq f_{n}$ לכל $n$, ולכן ממונוטוניות האינטגרל $\int {f}\geq \int {{f}_{n}}$, ולכן גם $\int {f}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}$.

לצורך הכיוון $\leq$, מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה $\phi \leq f$ ולכל $0<a<1$ מתקיים $\int {a\phi }\leq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}}$ (כי אז נשאיף $a\rightarrow 1^{-}$).

יהי ${A}_{n}={({f}_{n}-a\phi )}^{-1}([0,\infty ])$, קבוצה מדידה. גם $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ ממונוטוניות, ו-$\bigcup _{n=1}^{\infty }{{A}_{n}}=X$ - אכן, אם $x\in X,\phi (x)=0$ אז $x\in A_{1}$; אחרת $f(x)>a\phi (x)$ ומהשאיפה $f_{n}\rightarrow f$ נובע שקיים $n$ כך ש-$f_{n}(x)>a\phi (x)$, כלומר $x\in A_{n}$.

לכן, $\int _{X}{\phi }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{{A}_{n}}{\phi }}$. כעת, $\int _{X}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{a\phi }$ וביחד מקבלים $\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{X}{{f}_{n}}}\geq \int _{X}{a\phi }$ כדרוש.

ראו גם

• הלמה של פאטו
• משפט ההתכנסות הנשלטת
• משפט ההתכנסות של ויטלי

קישורים חיצוניים

• משפט ההתכנסות המונוטונית, באתר MathWorld (באנגלית)