באנליזה מרוכבת , משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית
f
{\displaystyle f}
מכילה כדור ברדיוס
|
f
′
(
0
)
|
4
{\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{4}}}
. פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה שממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי פאול קוב (Paul Koebe).
על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי
a
0
=
0
,
a
1
=
1
{\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1}
, כלומר
f
(
z
)
=
z
+
∑
n
=
2
∞
a
n
z
n
{\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{a_{n}z^{n}}}
. לכל
w
∉
f
(
D
)
{\displaystyle w\not \in f(D)}
, נגדיר
h
(
z
)
=
f
(
z
)
1
−
f
(
z
)
/
w
=
z
+
(
a
2
+
1
w
)
z
2
+
…
{\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{1-f(z)/w}}=z+(a_{2}+{\frac {1}{w}})z^{2}+\ldots }
; היא גם אוניוולנטית ב-
D
{\displaystyle D}
. לפי משפט דה ברנז' על
f
,
h
{\displaystyle f,h}
עבור
n
=
2
{\displaystyle n=2}
, נקבל
|
1
w
|
≤
|
a
2
|
+
|
a
2
+
1
w
|
≤
4
{\displaystyle |{\frac {1}{w}}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+{\frac {1}{w}}|\leq 4}
, לכן
d
i
s
t
(
w
,
0
)
=
|
w
|
≥
1
4
{\displaystyle dist(w,0)=|w|\geq {\frac {1}{4}}}
, כדרוש.
פונקציית קוב
עריכה
הגדרה ותכונות
עריכה
פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית
k
:
D
→
C
−
(
−
∞
,
−
1
4
)
{\displaystyle k:D\to \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})}
הנתונה על ידי
k
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
n
z
n
=
z
(
1
−
z
)
2
{\displaystyle k(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}
. זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב - מתקיים
k
(
0
)
=
0
{\displaystyle k(0)=0}
ו-
−
1
4
∉
k
(
D
)
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}\not \in k(D)}
.
פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז' , הטוען כי המקדמים
b
n
{\displaystyle b_{n}}
בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים
|
b
n
|
≤
n
{\displaystyle |b_{n}|\leq n}
.
בנייה גאומטרית
עריכה
את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.
נביט בפונקציה
u
:
D
→
J
=
{
z
:
R
e
z
>
0
}
,
u
(
z
)
=
1
+
z
1
−
z
{\displaystyle u:D\to J=\{z:Rez>0\},u(z)={\frac {1+z}{1-z}}}
. זוהי העתקה קונפורמית . הפונקציה
u
2
(
z
)
{\displaystyle u^{2}(z)}
מעבירה את
D
{\displaystyle D}
לכל המישור המרוכב בלי הקרן
{
z
:
R
e
z
<
0
}
{\displaystyle \{z:Rez<0\}}
. כעת, נבצע את תהליך הנרמול על
u
2
(
z
)
{\displaystyle u^{2}(z)}
ונקבל את פונקציית קוב -
k
(
z
)
=
1
4
(
u
2
(
z
)
−
1
)
=
1
4
(
(
1
+
z
1
−
z
)
2
−
1
)
=
z
(
1
−
z
)
2
{\displaystyle k(z)={\frac {1}{4}}(u^{2}(z)-1)={\frac {1}{4}}(({\frac {1+z}{1-z}})^{2}-1)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}
.
במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.