נוסחת נסיגה

במתמטיקה, נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי. כל איבר מוגדר באמצעות האיברים הקודמים בסדרה. למשל, סדרת פיבונאצ'י מוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה $\ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$, יחד עם תנאי ההתחלה $\ F_{0}=F_{1}=1$.

הגדרה רקורסיבית של סדרה

בהגדרה רקורסיבית יש שני חלקים:

1. תנאי התחלה הקובעים את האיברים הראשונים בסדרה,
2. נוסחת הנסיגה, המגדירה כל איבר בסדרה באופן רקורסיבי לפי האיברים הקודמים לו.

מעבר מנוסחת נסיגה להצגה מפורשת

נוסחת נסיגה מתארת את הקשר בין האיברים בסדרה, אבל אינה נותנת תיאור ישיר שלהם. כדי לחשב את האיבר ה-n בסדרה (ואפילו כדי להעריך את סדר הגודל שלו), יש לחשב את כל האיברים הקודמים. פתרון של נוסחת הנסיגה הוא מעבר מנוסחה כזו לנוסחה מפורשת ("נוסחה ישירה" או "נוסחה סגורה"). ישנן מספר שיטות לעשות כן:

הצבה חוזרת

במקרים של נוסחת נסיגה פשוטה, ניתן להציב שוב ושוב את הנוסחה בעצמה עד אשר מגיעים אל תנאי ההתחלה, ובכך להגיע לנוסחה סגורה.

דוגמה: נביט בסדרה $x_{0}=a,x_{n}=q\cdot x_{n-1}$. זוהי נוסחה של סדרה הנדסית, שבה המנה של כל שני איברים עוקבים היא $\!\,q$. כעת ניקח את הנוסחה של $\!\,x_{n}$ ונציב בה את עצמה שוב ושוב עד אשר נגיע לאיבר $\!\,x_{0}$:

$x_{n}=q\cdot x_{n-1}=q\cdot q\cdot x_{n-2}=\dots =q^{n}\cdot x_{0}=q^{n}\cdot a$.

ניחוש הפתרון

לעיתים, ובמיוחד במקרים בהם לא ניתנים תנאי התחלה, אין דרך שיטתית לפתור נוסחת נסיגה, אולם ניתן להעריך את צורתו של הפתרון שיתקבל - למשל, האם יהיה מהצורה $\!\,x_{n}=A+Bn+C^{n}$. כשפותרים בדרך זו, יש להשתמש בתנאי ההתחלה הידועים של נוסחת הנסיגה כדי לחשב את המקדמים של הנוסחה המפורשת, ואז להוכיח (למשל באמצעות אינדוקציה מתמטית) את נכונות הנוסחה המנוחשת.

משוואה אופיינית

זוהי דרך שיטתית לפתור נוסחאות מהצורה $\!\,x_{n}=Ax_{n-1}+Bx_{n-2}$ (סדרת לוקאס) (הערה: נוסחת נסיגה זו, בה יש התייחסות לשני איברים קודמים בסדרה, נקראת "נוסחת נסיגה כפולה"). עבור נוסחה שכזו, יש לפתור את המשוואה הריבועית $\!\,r^{2}-Ar-B=0$ ולקבל את השורשים $\!\,\lambda _{1},\lambda _{2}$.

אם השורשים שונים, האיבר הכללי של נוסחת הנסיגה הוא מהצורה $\!\,x_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}$. אם הם זהים, האיבר הכללי הוא $\!\,x_{n}=C\lambda ^{n}+nD\lambda ^{n}$. את המקדמים $\!\,C,D$ יש למצוא באמצעות תנאי ההתחלה.

בתור דוגמה נפתור את סדרת פיבונאצ'י, שהיא כזכור מהצורה $\!\,x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}$, כלומר אנו מחפשים את שורשי המשוואה $\!\,r^{2}-r-1=0$. הפתרונות למשוואה זו הם $\!\,\lambda _{1,2}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$. לכן האיבר הכללי הוא מהצורה $\!\,x_{n}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$.

כעת נמצא את המקדמים. ראשית נציב $\!\,n=0$ ונקבל $\!\,x_{0}=C+D$. כעת נציב $\!\,n=1$ ונקבל $\!\,x_{1}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)$.

מהמשוואה הראשונה נקבל: $\!\,C+D=0$ (כי האיבר הראשון הוא 0) ולכן $\!\,C=-D$. האיבר השני הוא 1, ולכן לאחר שנציב את הנתונים במשוואה השנייה נקבל: $\!\,C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-C\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)=1$.

ממשוואה זו נקבל $\!\,C={\frac {1}{\sqrt {5}}}$. על כן, הנוסחה הכללית של פיבונאצ'י היא: $\!\,{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]$.

פונקציות יוצרות

דרך נוספת לפתרון נוסחאות נסיגה היא באמצעות פונקציות יוצרות שמקדמיהן הם איברי הנוסחה.

סדרה ליניארית לא הומוגנית

אם נתון יחס הנסיגה $y_{n}=a_{1}y_{n-1}+a_{2}y_{n-2}+...+a_{k}y_{n-k}+b$ עם תנאי התחלה $(y_{1},...,y_{k})\in \mathbb {R} ^{k}$ כאשר $b\neq 0$ אומרים שזו סדרת נסיגה ליניארית לא-הומוגנית. לפני שניגשים לפתור אותה בשיטות שתוארו קודם יש לבצע לה הומוגניזציה. אם לסדרה יש מצב יציב או גבול של סדרה אז הדבר אפשרי. נסמן

$$y_{\infty }=\lim _{n\to \infty }y_{n}={\frac {b}{1-a_{1}-...-a_{k}}}$$

זהו הגבול של הסדרה וקיים רק אם $a_{1}+...+a_{k}\neq 1$ (נוסחה זו מתקבלת על ידי החלפת כל ה-y-ים בגבול $y_{\infty }$). כעת נגדיר סדרה חדשה: $z_{n}=y_{n}-y_{\infty }$. סדרה זו מקיימת את היחס הבא:

$$z_{n}=a_{1}z_{n-1}+a_{2}z_{n-2}+...+a_{k}z_{n-k}$$

ומכאן אפשר להמשיך כמו מקודם. מוצאים את k השורשים של הפולינום האופייני

$$\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{n-1}-...-a_{k-1}\lambda ^{1}-a_{k}=0$$

. אם יש k שורשים שונים, הפתרון הכללי יהיה

$$z_{n}=c_{1}\lambda _{1}^{n}+...+c_{k}\lambda _{k}^{n}$$

כאשר את המקדמים $c_{1},...,c_{k}$ מוצאים באמצעות תנאי ההתחלה. אם יש שורש מריבוי m אז במקום m מופעים שלו רושמים את הביטוי

$${\tilde {c}}_{1}\lambda _{m}^{n}+{\tilde {c}}_{2}n\lambda _{m}^{n}+...+{\tilde {c}}_{m}n^{m-1}\lambda _{m}^{n}$$

. אם יש שורש מרוכב, אז הוא בא עם שורש צמוד. נרשום את שני השורשים כך $\lambda _{\pm }=\alpha \pm i\beta =r\cdot e^{i\theta }=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$ ואז נשתמש בנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ונוסחת דה-מואבר כדי לרשום אותם בצורה

$$c_{+}\lambda _{+}^{n}+c_{-}\lambda _{-}^{n}=k_{1}r^{n}\cos(n\theta )+k_{2}r^{n}\sin(n\theta )$$

כאשר $k_{1},k_{2}$ הם קבועים ממשיים אותם מוצאים מתנאי ההתחלה (ביחד עם שאר מקדמי הצירוף הליניארי).

קישורים חיצוניים

• נוסחת נסיגה, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואות פרש, דף שער בספרייה הלאומית