סכום הזוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש הוא סכומן של שלוש הזוויות הפנימיות במשולש. בגאומטריה אוקלידית סכום זה הוא תמיד 180 מעלות (שהן $\pi$ רדיאנים). בגאומטריות לא-אוקלידיות לסכום זה ערך אחר. סכום הזוויות במשולש (והתכונות הנגזרות ממנו) הוא אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא-אוקלידיות.

בגאומטריה אוקלידית

הוכחת סכום הזוויות במשולש בגאומטריה אוקלידית

בגאומטריה אוקלידית סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות. הוכחה לכך ניתנה כבר בספרו של אוקלידס, "יסודות".

הוכחה: במשולש ABC נעביר דרך הקודקוד A ישר מקביל לצלע BC. הזוויות XAC ו-ACB הן זוויות מתחלפות, ולכן שוות זו לזו, וכך הזווית ABC והזווית שבין הישר AX והצלע AB, כלומר סכום שלוש הזוויות הפנימיות במשולש שווה לזווית שטוחה, כלומר ל-180 מעלות.

המשפט "סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות" שקול לאקסיומת המקבילים. בגאומטריות לא-אוקלידיות, שבהן אקסיומה זו אינה מתקיימת, סכום הזוויות במשולש שונה מ-180.

בגאומטריה ספירית

משולש בגאומטריה ספירית

גאומטריה ספירית היא גאומטריה לא אוקלידית, העוסקת בתכונות של ישרים על ספירה, היינו מעטפת של כדור. בגאומטריה ספירית נקודה היא זוג נקודות אנטיפודיות על פני הספירה, והקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור.

במשולש בגאומטריה ספירית, כל אחת מהזוויות $\alpha$ ו-$\beta$ היא 90 מעלות, ונוספת עליהן הזווית $\gamma$, כך שסכום שלוש הזוויות הוא תמיד יותר מ-180 מעלות, ויכול להגיע עד 540 מעלות.

גם בגאומטריה אליפטית סכום הזוויות במשולש גדול מ-180 מעלות.

בגאומטריה היפרבולית

משולש על משטח היפרבולי

גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הבאה: "דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה".

בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות. במשולש אידיאלי כל אחת משלוש הזוויות הפנימיות גודלה אפס, ולכן גם סכום הזוויות במשולש זה הוא אפס. המשפט הקרוי Theorema Elegantissimum, שהוא מקרה פרטי של משפט גאוס-בונה, קובע כי המגרעת הזוויתית של המשולש, כלומר ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות, שווה לאינטגרל על עקמומיות (עקמומיות גאוס) המשטח בתחום המשולש.

סכום הזוויות החיצוניות במשולש

זווית חיצונית במשולש היא הזווית שבין צלע להמשך הצלע הסמוכה. בהתאם להגדרה זו, הזווית הפנימית והזווית החיצונית הצמודה לה יוצרות תמיד זווית שטוחה, כלומר סכומן הוא 180 מעלות, ולכן הסכום של שלוש הזוויות הפנימיות ושלוש הזוויות החיצוניות הוא 540 מעלות. כתוצאה מכך, בגאומטריה אוקלידית סכום הזוויות החיצוניות במשולש שווה תמיד ל-360 מעלות, בגאומטריה ספירית הוא פחות מ-360 מעלות, ובגאומטריה היפרבולית הוא יותר מ-360 מעלות.