פונקציה יוצרת-הסתברות

בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג על ידי טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.

הגדרה מתמטית

יהי $X$ משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור $s\in (0,1)$, פונקציה יוצרת הסתברות של $X$ היא

$$g_{X}(s):=\mathbb {E} [s^{X}]=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}$$

תכונות

נגזרת

עבור משתנה מקרי $X$, מתקיים $P(X=n)={\frac {g_{X}^{(n)}(0)}{n!}}$ועבור $P(X=\infty )=P(\infty )=1-g_{x}(1^{-})$

יחידות

עבור משתנה מקרי $X$, הפונקציה $g_{X}(s)$ קובעת את התפלגות $X$ באופן יחיד

פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים

עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, $X,Y$ מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא $g_{X+Y}(s)=g_{X}(s)g_{Y}(s)$

יהי $N$ משתנה מקרי, ויהיו $\{X_{i}\}_{i=1}$ סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן $T=X_{1}+...+X_{N}$. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של $T$ היא

$$g_{T}(s)=g_{N}(g_{X_{1}}(s))$$

דוגמאות

משתנה פואסוני

יהי משתנה מקרי $X$ המתפלג פואסונית $X\thicksim Poi(\lambda )$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

$g_{X}(s):=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }}{n!}}\lambda ^{n}s^{n}=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda s)^{n}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}$

משתנה גאומטרי

יהי משתנה מקרי $X$ המתפלג גאומטרית $X\thicksim G(p)$, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

$g_{X}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }P(X=n)s^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}ps^{n}=ps\sum _{n=0}^{\infty }(1-p)^{n}s^{n}=ps{\frac {1}{1-s(1-p)}}$

הערה:

יהי משתנה בינומי שלילי המתפלג $Y\thicksim NB(r,p)$. ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים $g_{Y}(s)=(g_{X}(s))^{r}$.

לקריאה נוספת

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)

קישורים חיצוניים

• הסבר כללי על פונקציה יוצרת הסתברות, מועבר על ידי מארק וויליס

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.