פונקציה ממעלה שלישית

פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה $\ y=f(x)$, כאשר $f$ הוא פולינום ממעלה שלישית;
דהיינו:

$\ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה): $\ f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=0$. לכן, יש נקודות קיצון אם ורק אם $\ b^{2}>3ac$. לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה $\ x=-{\frac {b}{3a}}$; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צידיה של נקודת הפיתול. גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה $\ 2{\sqrt {b^{2}-3ac}}$. את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: $\ f(x)=0$.

צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל $a$, וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון. על ידי החלפת משתנים ליניארית של $x$ ושל $y$ (כלומר הצבת ביטוי מהצורה $\ Ax+B$ במקום $x$ וביטוי מהצורה $\ Cy+D$ במקום $y$), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות $y=x^{3}+x$ (אין נקודות קיצון), $y=x^{3}-x$ (שתי נקודות קיצון) ו־$y=x^{3}$ (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).

ראו גם

• משוואה ממעלה שלישית
• עקום אליפטי (מתקבל מן המשוואה: $\ f^{2}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$; כלומר, השורש של פונקציה ממעלה שלישית)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה ממעלה שלישית בוויקישיתוף

• פונקציה ממעלה שלישית, באתר MathWorld (באנגלית)