קשר לוויין

בתורת הקשרים המתמטית קשר לוויין (satellite knot) הוא קשר אשר המשלים שלו מכיל טורוס לא כוויץ אשר אינו מקביל שפה (כלומר, אינו איזוטופי לאף אחד מרכיבי השפה של משלים הקשר בגבולות משלים הקשר).

פקטוריזציה של הטריפויל ושל קשר 8.

כפול וייטהד של קשר 8.

קשר כבל של הקשר מדוגמה 1.

לוויין כפול.

הבניה המקורית של קשרי לוויין יותר אינטואיטיבית וניתן להסבירה באופן ציורי: בהינתן שזר P (הנקרא שזר תבנית או pattern link) וקשר C (הנקרא קשר עמית או companion knot) מבצעים "מתיחה" של התבנית לאורך הקשר העמית. מכאן גם נובע השם "קשר לוויין".

הגדרה פורמלית

בהינתן טורוס מלא W, דיסק המשוכן ב-W שיכון הולם (כלומר, ששפתו מוכלת בשפת הטורוס) ששפתו היא לולאה עיקרית של הטורוס (כלומר, לולאה שחיתוך לאורכה ישנה את הגנוס של הטרוס) נקרא מרידיאן של הטורוס.

יהי P שזר המשוכן בטורוס מלא לא קשור W (כלומר, שלולאה אורכית בו שקולה לאי-קשר) כך שלפחות רכיב אחד של השזר מהווה לולאה עיקרית ב-W. יהי C קשר ויהי V טורוס המהווה סביבה צינורית של C. הקשר המתקבל על ידי הומוטופיה של V ל-W נקרא קשר לוויין עם תבנית P ועמית C.

עם ההגדרה הזו קל לראות כי, תחת ההנחה ש-C ו-W אינם הקשר הטריוויאלי, משלים הקשר מכיל את הטורוס שתואר בתחילת המאמר - והוא המשלים של הקשר העמית. כמו כן, בהינתן קשר אשר המשלים שלו מכיל טורוס כזה, ניתן לבחור את הטורוס הנ"ל בתור עמית ולבחור לתבנית את הקשר שמתקבל מהומוטופיה שלו לטורוס לא קשיר. מכאן מתקבלת שקילות שתי ההגדרות שתוארו בהתחלת המאמר.

תכונות

• העמית היחיד של הקשר הטריוויאלי הוא הקשר הטריוויאלי.
• מתוך הבניה נובע כי לקשר לוויין קיים טורוס עוקב-בולע (כלומר, טורוס המורכב מספירה החותכת את הקשר בדיוק בשתי נקודות ומסביבה צינורית של שאר הקשר, באנגלית swallow-follow torus). מכאן למשל נובע שהקשר בדוגמה הקודמת אינו קשר לוויין.
• פירוק של קשר לוויין לתבנית ועמית אינה יחידה, עם זאת, הורסט שוברט הוכיח כי במקרים מסוימים קיים פירוק יחיד. בהמשך מצאו ז'אקו, שאהלן וג'והנסון תנאי הכרחי ומספיק לפריקות יחידה של קשר לוויין דרך תהליך הידוע כ-JSJ decomposition על שם יוצריו.

קישורים חיצוניים

• קשר לוויין, באתר MathWorld (באנגלית)