תבניות מוארה

במתמטיקה, פיזיקה, ואמנות, תבניות מוארה או פסי מוארה הן תבניות התאבכות בקנה מידה גדול, שנוצרות כאשר תבנית אטומה עם פסים שקופים מכסה תבנית דומה אחרת. כדי שתבנית ההתאבכות של מוארה תופיע, שתי התבניות צריכות להיות שונות זו מזו, למשל מוסטות אחת מהשנייה, מסובבות אחת ביחס לשנייה או בעלות פסיעה שונה מעט.

תבניות מוארה מופיעות במצבים רבים ושונים. בהדפסה, למשל, עובדים עם תבנית צפופה שתי וערב (מטריצה) של נקודות שיכולות להופיע או להיעדר וכך ליצור תמונה הנראית רציפה. אולם, תבנית נקודות המודפסות עצמה עלולה להתאבך עם תמונה הכוללת תבנית מחזורית. בצילום טלוויזיה ודיגיטל, תבנית על העצם המצולם יכול להתאבך עם מטריצת הפיקסלים של חיישני האור וליצור תמונת התאבכות לא רצויה. תבנית מוארה נוצרת לעיתים גם במכוון, במיקרומטר או במד-זחיח (קליבר), למשל, התבנית משמשת להגברת ההשפעות של תנועות קטנות מאוד.

באקוסטיקה הביטוי המקביל לתבניות מוארה היא תופעת הפעימות המתרחשת כאשר מתאבכים שני מקורות קול עם תדירויות כמעט זהות.

אטימולוגיה

הקווים העדינים של השמיים בציור זה, הנראים בציור המוגדל למטה, יוצרים תבניות מוארה כאשר מסתכלים על התמונה ברזלוצה נמוכה בגלל התאבכות הקווים עם מטריצת הפיקסלים של המסך

הגדלת קטע שמיים בציור מראה תבנית של קווים צפופים ומקבילים

מקור המילה מוארה (moiré בצרפתית) בסוג של טקסטיל, באופן מסורתי של משי, אבל עכשיו גם של כותנה או סיב סינתטי, עם מראה גלי או "רטוב". בד מוארה מיוצר על ידי לחיצה על שתי שכבות זהות של הטקסטיל כשהן רטובות. המרווח הדומה אך הלא מושלם של החוטים יוצר תבנית אופיינית שנשארת לאחר התייבשות הבד.

תבנית מוארה שנוצרת על ידי שני מערכים של קוים מקבילים כאשר מערכת אחת מוטית ביחס למערכת השנייה ב-5 מעלות.

תבניות מוארה

קוו מוארה נוצר על ידי שתי תבניות זהות של קווים כתוצאה מתנועה הדדית בכיוון המאונך לכיוון הקווים.

צורת מורייה

תבנית מוארה הנוצרת נוצרה על ידי תנועה הדדית בין שתי קבוצות של עיגולים קונצנטריים

תבנית מוארה היא לעיתים תופעה בלתי-רצויה המתקבלת בתמונה המיוצרת בעת סריקת תמונה מסוג הלפטון (halftone). סריקה ברזולוציה גבוהה יותר עשויה למנוע את ההופעה הבלתי רצויה של תבניות מוארה. שיטות מתוחכמות יותר להתגבר על הופעת תבניות מוארה פותחו בתחום העיבוד הממוחשב של תמונות, מיפוי MIP וסינון אנאיזוטרופי, לדוגמה.

בציור בצד שמאל למעלה מופיע תבנית מוארה בחלק העליון של הציור המראה את השמים. כאשר מסתכלים על הציור בהגדלה מספקת, כפי שמראה הציור השני, רואים שהשמים עשויים מקווים עדינים שהצייר התווה על הנייר. תבנית המוארה נוצרת בין מטריצת הפיקסלים של המסך ובין הקווים העדינים כאשר ההגדלה אינה מספקת.

תבנית המוארה השלישית מלמעלה מתקבלת מהזזה זוויתית קלה הין שני מערכי קוים. בתמונה הדינמית, הרביעית מלמעלה, התבניות המוצבות זו על גבי זו כוללות קווים ישרים או מעוקלים. בעת הזזת התבנית העליונה באטיות, תבנית מוארה נעה במהירות. תוצא זה נקרא האצת מוארה אופטית. באופן דומה, בהגדלת מוארה, תבניות מוארה מגדילות הבדלים קטנים בין מבנים כמעט זהים.

התמונה הדינמית, החמישית מלמעלה, מראה אותיות AB2 המסתתרות בשלוש התבניות שבצד שמאל ונגלות לעין בתבנית מוארה או צורת מוארה הנוצרת כאשר תבנית הקווים מימין נעה מימין לשמאל, מכסה את שלוש התבניות ונעה מלמטה למעלה.

התמונה הדינמית, השישית מלמעלה, מראה תבניות מוארה המתקבלות משתי תבניות קונצנטריות זהות המוזזות אחת ביחס לשנייה.

הדוגמאות עד עתה עסקו בקווים אטומים המופיעים לסירוגין עם קווים שקופים. באופן יותר כללי, תבניות מוארה מופיעות כאשר יש אפנון מרחבי מחזורי ולא רק שחור ולבן. עוד יותר כללי הוא תוצא מוארה האוניברסלי שכולל גם משטחים שקופים לגמרי אך עם אפנון פזה מחזורי.

חישוב עבור תבניות מקבילות

סריגי רונצ'י

סריג רונצ'י (אנ') הוא מבנה של מסכה או מטרה אופטית הכולל קוים שחורים חדים במרווח קבוע ביניהם עם חתך של גל ריבועי כמו בתמונות הרביעית והשביעית. נניח שני סריגי רונצי' כאשר המרחק בין הקווים בסריג הראשון הוא p, ובין הקווים בסריג השני הוא p + δp, כאשר 0 < δp < p, כפי שמודגם בתמונה השביעית מלמעלה. קווי התבניות מונחים זה לצד זה בצד שמאל של הדמות, התזוזה בין הקווים גדלה כאשר הולכים ימינה. לאחר מספר שורות נתון, התבניות מנוגדות: הקווים של התבנית השנייה הם בין הקווים של התבנית הראשונה. אם אנו מסתכלים ממרחק רב, יש לנו תחושה של אזורים חיוורים כאשר הקווים מונחים זה על זה (יש לבן בין השורות), ושל אזורים כהים כאשר הקווים "מנוגדים".

אמצע האזור החשוך הראשון הוא כאשר ההזזה שווה ל־p / 2. הקו ה־n של התבנית השנייה מוזז ב־n δp לעומת הקו ה־n של הרשת הראשונה. אמצע האזור החשוך הראשון מתאים אפוא ל־

$$n\cdot \delta p={\frac {p}{2}}$$

$$n={\frac {p}{2\delta p}}.$$

הרווח d בין אמצע האזור החיוור ובין אמצע האזור הכהה נתון על ידי המשוואה הבאה:

$$d=n\cdot (p+\delta p)={\frac {p^{2}}{2\delta p}}+{\frac {p}{2}}$$

$$2d={\frac {p^{2}}{\delta p}}+p$$

מנוסחה זו אנו יכולים לראות כי:

• ככל שהמרחק בין הקווים בתבנית הראשונה גדול יותר, המרחק בין האזורים החיוורים והכהים גדול יותר;
• ככל ש־δp גדול יותר, אזורים כהים וחיוורים קרובים יותר. במילים אחרות, ריווח גדול בין אזורים כהים לאזורים חיוורים אומר שלתבניות יש מדרגות קרובות מאוד.

תבנית מוארה בין שני שריגי רונצ'י

ניתוח זה מתאים גם לשנתות מד-הזחיח (קליבר).

סריגים סינוסואידים

תבנית מוארה (התחתונה) הנוצרת על ידי הצבת שתי רשתות זהות (למעלה ואמצע) אחת על השנייה כשהן מסובבות אחת ביחס לשנייה בזווית קטנה.

בסריג סינוסואידי הצבע משתנה בין שחור מלא ללבן מלא דרך גוני אפור הדרגתיים באופן סינוסואידי. במקרה של סריג שקוף, ההשתנות היא בין אטימות מלאה לשקיפות גמורה. לצורך הדיון נניח ששני הסריגים מודפסים כל אחד בדיו בגווני אפור על דף לבן, כאשר האטימות (למשל, גוון אפור) של החלק ה"מודפס "ניתנת בערך בין 0 (לבן) ל־1 (שחור) ועד בכלל, ו־12 מייצג אפור 50%. אנו גם בוחרים לייצג את אטימות התבנית הנובעת מהדפסת סריג אחד על השני בנקודה מסוימת כמוצע האריתמטי של אטימות כל סריג במיקום זה. ערך זה אינו עולה על 1.

כדי לחשב את תבנית המוארה הנוצרת בהדפסת סריג אחד על ניר ואז הדפסת סריג שני על גביו, מייצגים את העוצמה האפורה בכל סריג על ידי פונקציית אטימות חיובית של המרחק בכיוון קבוע (נניח, קואורדינטת ה־x) במישור הנייר:

$$f={\frac {1+\sin(kx)}{2}}$$

כאשר נוכחות של 1 שומרת על הפונקציה חיובית מוגדרת, והחלוקה על ידי 2 מונעת ערכי פונקציה גדולים מ־1.

הגודל k מייצגת את התדר המרחבי של עוצמת האפור של התבנית. נניח כעת שני שריגים כאלה, עם תדרים מרחביים k השונים זה מזה מעט:

$${\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\[4pt]f_{2}&={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}$$

הממוצע של שתי הפונקציות הללו מייצג את תבנית המוארה f המתקבלת בהדפסה, כדלקמן:

$${\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\[5pt]&={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}\end{aligned}}$$

כאשר

$$A={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}$$

ו־

$$B={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}.$$

ערך הפונקציה f ₃, נמצא בבירור בטווח [0,1]. היות שההשתנות המרחבית A היא הממוצעת בין k ₁ ו־k ₂ וקרובה לשניהם, תבנית מוארה מודגמת בצורה ייחודית על ידי פונקציית המעטפה הקוסינוסית או הפעימה (cos(Bx, שההשתנות המרחבית שלה היא חצי מההבדל בין השונויות המרחביות k ₁ ו־k ₂, כלומר, תדר מרחבי נמוך בהרבה מ־k ₁ ו־k ₂.

הניתוח המתמטי הזה ישים גם עבור פעימות אקוסטיות.

סיבוב סריגי רונצ'י

היווצרות קווים חיוורים(ligne claire) כאשר מניחים שריג רונצ'י אחד על משנהו תוך סיבוב בזווית α.

השתנות תבנית מוארה עשאר מסובבים שריג רונצ'י ירוק ביחס לשריג רונצ'י וורוד.

נניח שני סריגי רונצ'י עם מרחק זהה בין הקווים p, כאשר הסריג השני מסובב בזווית α ביחס לראשון, כפי שמראות התמונות התשיעית והעשירית בצד שמאל. בתבנית ההתאבכות רואים קווים כהים וחיוורים כאשר הקווים החיוורים תואמים את קווי הצמתים, כלומר קווים העוברים בצמתים של שני הסריגים. בתמונה התשיעית מלמעלה רואים שמתקבל מעוין שצלעו d נתונה על ידי המשוואה d = p / sin α, כי d הוא היתר במשולש ישר הזווית שבו מול הזווית α נמצא הניצב p. הקווים החיוורים תואמים את האלכסון הקטן של המעוין. והמרווח בין שני קווים חיוורים הוא D, מחצית האלכסון הארוך. האלכסון 2D הארוך הוא היתר במשולש ישר-זווית הניצבים הם הם (d (1 + cos α ו־p. משפט פיתגורס נותן:

$$(2D)^{2}=d^{2}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}$$

זה:

$${\begin{aligned}(2D)^{2}&={\frac {p^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}\\[5pt]&=p^{2}\cdot \left({\frac {(1+\cos \alpha )^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+1\right)\end{aligned}}$$

לכן

$${\begin{aligned}(2D)^{2}&=2p^{2}\cdot {\frac {1+\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }}\\[5pt]D&={\frac {\frac {p}{2}}{\tan {\frac {\alpha }{2}}}}\end{aligned}}$$

כאשר α הוא קטן מאוד (α < π / 6) ניתן לערוך את הקירובים הבאים בזווית הקטנה:

לכן

$$D\approx {\frac {p}{\alpha }}.$$

אנו יכולים לראות שככל ש α קטן יותר, כך הקווים החיוורים יותר רחוקים זה מזה; כאשר שני הדפוסים מקבילים (α = 0), המרווח בין הקווים החיוורים הוא אינסופי (אין קו חיוור).

יש אפוא שתי דרכים לקבוע את α: על ידי כיוון הקווים החיוורים ועל ידי המרווח שלהם

$$\alpha \approx {\frac {p}{D}}$$

אם אנו בוחרים למדוד את הזווית, השגיאה מתכונתית לשגיאת המדידה. אם אנו בוחרים למדוד את המרווח D, השגיאה מתכונתית להיפוך של המרווח. לפיכך, עבור הזוויות הקטנות, עדיף למדוד את המרווח.

השלכות ויישומים

הדפסה וסריקה של תמונות צבעוניות

בתחום האומנות הגרפית והמדפסת, הטכנולוגיה המקובלת להדפסת תמונות בצבע מלא כרוכה בהצבת מסכי הלפטון בארבעה צבעים זה על גבי זה. המדובר במסכי נקודה מלבניים רגילים, בדרך כלל בצבעי ציאן, צהוב, מגנטה ושחור(CMYK). הופעת תבניות מוארה במידה מסוימת היא בלתי נמנעת, אך במצב הטוב תבנית המוארה צפופה כל כך עד שאינה מורגשת. באומנות הגרפית כאשר מזכירים מוארה הכוונה היא שתבנית המוארה נראית לעין יתר על המידה. חלק מאמנות ההדפסה מורכבת מבחירת זוויות מסך ותדרי הלפטון אשר ממזערים את הופעת תבניות מוארה בלתי-רצויות. קשה לעיתים לחזות את הופעת תבניות מוארה ואותה קבוצת מסכים עשויה להניב תוצאות טובות עם תמונות מסוימות, בעוד שבתמונות אחרות מופיעות תבניות מוארה.

יש תוכנות מחשב של סורקי תמונות שמספקות מסנן "מסך", למניעת הופעה של תבניות מוארה.

מסכי טלוויזיה ותצלומים

תבניות מוארה נראים בדרך כלל על מסכי טלוויזיה כאשר אדם לובש חולצה או ז'קט של מארג או תבנית מחזורית קבועה. תבנית המוארה נוצרת בגלל התאבכות בין תבנית האריג ותבנית הפיקסלים במצלמה הדיגיטלית או במסך הטלוויזיה. בגלל זה, שדרני חדשות ואנשי מקצוע אחרים המופיעים בטלוויזיה באופן קבוע מקבלים הנחיות להימנע מביגוד שעלול לגרום להופעה לא רצויה של תבניות מוארה.

כאשר מצלמים מסך טלוויזיה או מחשב במצלמה דיגיטלית עלולים לקבל תבניות מוארה בגלל התאבכות מטריצת הפיקסלים במצלמה עם מטריצת הפיקסלים במסך. כדי למנוע זאת, מומלץ לצלם בזווית של כ-30 מעלות ביחס למסך. תבניות מוארה משמש במשואות לכלי שיט הנקראות "סימני מוביל של אינוגון" או "אורות אינוגון", המיוצרים על ידי Inogon Licens AB, שוודיה, כדי לכוון את הספינות לדרך הבטוחה ביותר לעבר מרינות, או נמלים וולציין סכנות מתחת למים כגון צינורות או כבלים. תבניות המוארה בשלט הן בצורת חיצים לעבר אזור הסכנה או למסלול התנועה קו המעבר הבטוח. כאשר הספינה עוברת את מסלול התנועה, החיצים על המשואה הופכים לפסים אנכיים לפני שהם חוזרים לחצים המפנים בכיוון ההפוך. בנוסף, אורות אינוגון פרוסים בשדות תעופה כדי לסייע לטייסים בשטח לשמור על הקו המרכזי של מסלולי ההסעה.

מדידת מעוות

שימוש בתבניות מוארה למדידת מעוות: מקרה של מתיחה חד-צירית (למעלה) וגזירה טהורה (תחתונה); קווי התבניות אופקיים בתחילה בשני המקרים

בתעשיות הייצור משתמשים בתבניות מוארה לבחינה של מעוות או עיבור מיקרוסקופי בחומרים: על ידי עיוות רשת ביחס לרשת התייחסות ומדידת תבנית מוארה, ניתן להסיק את רמות הלחץ וסוגו. טכניקה זו אטרקטיבית מכיוון שקנה המידה של תבנית מוארה גדול בהרבה מהסטייה הגורמת לה, דבר המקל על המדידה. לשם כך, צריך לצייר תבנית קווים אחת על האובייקט ולהניח תבנית קווים השנייה על התבנית הראשונה בלי להצמידן מכנית, כפי שמודגם בתמונה משמאל.

שטרות כסף

בתכנון שטרות כסף מנצלים את נטייתם של סורקים דיגיטליים לייצר תבניות מוארה וכוללים בשטר עיצובים עגולים או גליים עדינים אשר עשויים להציג תבניות מוארה כאשר הם סרוקים ומודפסים.

מיקרוסקופיה

במיקרוסקופ ברזולוצית-על משתמשים בתבנית מוארה כדי להשיג תמונות עם רזולוציה גבוהה יותר מגבול ההפרדה,על ידי שימוש בתאורה מובנית.

במיקרוסקופ מנהור סורק, פסי מוארה מופיעים אם לשכבות אטומיות בפני השטח יש מבנה גביש שונה מהגביש. זה יכול להיות למשל בגלל שחזור פני השטח של הגביש, או כאשר שכבה דקה של גביש שני נמצאת על פני השטח, למשל שכבה יחידה, שכבה כפולה של גרפן, או מבנה ננו ואן דר וואלס מעורב של גרפן ו־hBN, או מבני ננו של ביסמוט ואנטימון.

במיקרוסקופ אלקטרונים חודר (TEM), ניתן לראות פסי מוארה בגלל סריגי גבישיים משתנים וחופפים, עם מרווחים שונים או עם כיוונים שונים.

מדעי החומרים

במדע חומרים, דוגמאות ידועות המציגות תבניות מוארה הן שכבות דקות או ננו-חלקיקים מסוג (MX (M = Ti, Nb; X = C, N אשר חופפים למטריצה אוסטניטית. בשני הרכיבים, השכבה הדקה MX והמטריצה, יש מבנה גביש קובי ומתקבל מבנה של קובייה על קובייה. אולם, יש אי התאמה משמעותית בין הרכיבים של סריג של בערך של 20-24% (בהתבסס על ההרכב הכימי של הסגסוגת), שמייצר תבנית מוארה.

תבנית מוארה מופיעה גם בחומרים דו־ממדיים. זאת, כאשר יש אי התאמה בין פרמטר הסריג או הזווית של שכבת הדו-מימד לזו של המצע. תבנית המוארה נובעת מחוסר ההתאמה, ומנוצלת כאמצעי להנדסה של המבנה האלקטרוני או התכונות האופטיות. דוגמה בולטת היא בגרפן דו-שכבתי, אשר בזווית קסם מיוחדת יוצר תבנית מוארה בד בבד עם הצגת מוליכות-על ותכונות חשובות אחרות.

בישראל

בשנים 1977–1994 פעלה בקריה למחקר גרעיני בנגב (קמ"ג) קבוצת מחקר שכללה בין השאר את ד"ר עודד כפרי, ד"ר עמינדב ליבנת, ד"ר אילנה גלאט וד"ר אליעזר קרן ועסקה ביישומים שונים של תבניות מוארה. חברת היישומים של קמ"ג, רותם תעשיות, הקימה ב-1986 מחלקה שמימשה את הידע המדעי שהצטבר בקבוצה במוצרים שונים, ובשנת 1994 הפכה את המחלקה לחברת הבת רותלקס. רותלקס פעלה תחילה בפארק רותם ליד דימונה ועברה מאוחר יותר לפארק התעשייתי בעומר. רותלקס פעילה בתחום בדיקת האיכות של משקפיים, עדשות מגע ועדשות עין מלאכותיות להחדרה תוך-עינית (במקרי קטרקט וקוצר ראייה חזק).

תבניות מוארה שימשו ברותם תעשיות גם לבדיקת איכות של מראות משושות קעורות שהיוו חלק ממראת מקטעים לריכוז אור שמש שבנו לנדו וחבריו. זאת, על ידי שימוש בתבנית קווים צפופה של 3 קווים למ"מ שהונחה על גבי המראה. התבנית השתקפה במראה הנבדקת והתאבכה עם עצמה. התמונה בצד שמאל מדגימה תבניות מוארה שהתקבלו בבדיקת ארבע מראות משושות. תבנית המוארה הקונצנטרית בצד שמאל למעלה התקבלה ממראה קעורה באיכות גבוהה עם רדיוס עקמומיות של 17 מטר. שאר המראות היו באיכות נמוכה יותר, דבר שהתבטא בתבניות מוארה עם עיוותים שונים של המבנה הקונצנטרי.

בדיקת עקמומיות מראות משושות המהוות חלק ממראת מקטעים מרכזת אור שמש.

ראו גם

• ALIASING
• פיקסל רגיש לזווית
• אנימציה וסטריאוגרפיה
• הבוסתן של אוקליד
• פסל השומר
• תמונה תלת-ממדית מפלסטיק
• עקיבת מקום וזווית בעזרת תבניות מוארה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תבניות מוארה בוויקישיתוף

• סדרת ציורי שמן המבוססת על עקרונות moiré מאת האמן הבריטי, פיפ דיקנס
• הדגמה חיה של תבניות מוארה הנובעות מתנועה הדדית של סטים של מעגלים קונצנטריים.
• שימוש בחלונות קסומים להסתרת תיש
• תבניות מוארה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)