ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:
בהינתן חבורה
G
{\displaystyle G}
ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי
G
{\displaystyle G}
היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.
מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות
עריכה
חבורה
G
{\displaystyle G}
נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה
K
,
H
<
G
{\displaystyle K,H<G}
אם מתקיים:
H
{\displaystyle H}
נורמלית ב-
G
{\displaystyle G}
K
∩
H
=
{
1
}
{\displaystyle K\cap H=\{1\}}
K
H
=
G
{\displaystyle KH=G}
, כלומר כל איבר ב-
G
{\displaystyle G}
ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-
K
{\displaystyle K}
ואיבר ב-
H
{\displaystyle H}
.
מכפלה חצי ישרה אבסטרקטית
עריכה
יהיו
H
{\displaystyle H}
ו-
K
{\displaystyle K}
חבורות . נניח ש-
K
{\displaystyle K}
פועלת על
H
{\displaystyle H}
באמצעות אוטומורפיזם , כלומר: קיים הומומורפיזם
ρ
:
K
→
A
u
t
(
H
)
{\displaystyle \rho :K\to \mathrm {Aut} (H)}
המתאים לכל איבר ב-
K
{\displaystyle K}
אוטומורפיזם על
H
{\displaystyle H}
. לשם קיצור נסמן
(
ρ
(
k
)
)
(
h
)
=
k
h
{\displaystyle (\rho (k))(h)={}^{k}h}
.
נגדיר פעולה על הקבוצה
G
=
H
×
K
=
{
(
h
,
k
)
|
h
∈
H
,
k
∈
K
}
{\displaystyle G=H\times K=\left\{(h,k)\ |\ h\in H,k\in K\right\}}
באופן הבא:
(
h
1
,
k
1
)
⋅
(
h
2
,
k
2
)
:=
(
h
1
⋅
k
1
h
2
,
k
1
k
2
)
{\displaystyle (h_{1},k_{1})\cdot (h_{2},k_{2}):=(h_{1}\cdot {}^{k_{1}}h_{2},k_{1}k_{2})}
.
זו חבורה מסדר
|
G
|
=
|
H
|
⋅
|
K
|
{\displaystyle |G|=|H|\cdot |K|}
(שכן יש יחידה
1
G
=
(
1
H
,
1
K
)
{\displaystyle 1_{G}=(1_{H},1_{K})}
וכל איבר הפיך
(
h
,
k
)
−
1
=
(
k
−
1
h
−
1
,
k
−
1
)
{\displaystyle (h,k)^{-1}=({}^{k^{-1}}h^{-1},k^{-1})}
) שנסמנה
G
=
H
⋊
K
{\displaystyle G=H\rtimes K}
.
אם
G
{\displaystyle G}
היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה
H
{\displaystyle H}
ו-
K
{\displaystyle K}
, אז יש איזומורפיזם טבעי בין המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל-
G
{\displaystyle G}
כאשר הפעולה של
K
{\displaystyle K}
על
H
{\displaystyle H}
היא פעולת ההצמדה.
אם מזהים אזי
H
∩
K
=
{
1
}
{\displaystyle H\cap K=\{1\}}
ו-
H
{\displaystyle H}
תת-חבורה נורמלית של
G
{\displaystyle G}
.
יש שיכון טבעי של
H
{\displaystyle H}
ו-
K
{\displaystyle K}
ל-
H
⋊
K
{\displaystyle H\rtimes K}
:
H
≅
{
(
h
,
1
)
|
h
∈
H
}
{\displaystyle H\cong \{(h,1)|h\in H\}}
,
K
≅
{
(
1
,
k
)
|
k
∈
K
}
{\displaystyle K\cong \{(1,k)|k\in K\}}
.
שיכון זה מאפשר לחשוב על
H
{\displaystyle H}
ו-
K
{\displaystyle K}
כעל תת-חבורות של
H
⋊
K
{\displaystyle H\rtimes K}
. תחת שיכון זה
H
⋊
K
{\displaystyle H\rtimes K}
היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות
H
{\displaystyle H}
ו-
K
{\displaystyle K}
.