מכפלה חצי ישרה

פעולה מתמטית

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות ו- חבורה חדשה .

הגדרה

עריכה

ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:

  • בהינתן חבורה   ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי   היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
  • בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.

מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות

עריכה

חבורה   נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה   אם מתקיים:

  •   נורמלית ב- 
  •  
  •  , כלומר כל איבר ב-  ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-  ואיבר ב- .

מכפלה חצי ישרה אבסטרקטית

עריכה

יהיו   ו-  חבורות. נניח ש-  פועלת על   באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם   המתאים לכל איבר ב-  אוטומורפיזם על  . לשם קיצור נסמן  .

נגדיר פעולה על הקבוצה   באופן הבא:

 .

זו חבורה מסדר   (שכן יש יחידה   וכל איבר הפיך  ) שנסמנה  .

קשר בין המושגים

עריכה
  • אם   היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה   ו- , אז יש איזומורפיזם טבעי בין המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל-  כאשר הפעולה של   על   היא פעולת ההצמדה.
  • אם מזהים אזי   ו-  תת-חבורה נורמלית של  .

יש שיכון טבעי של   ו-  ל- :

  •  ,
  •  .

שיכון זה מאפשר לחשוב על   ו-  כעל תת-חבורות של  . תחת שיכון זה   היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות   ו- .

קישורים חיצוניים

עריכה
  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.