ממד (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, המימד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב. כלומר, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר כל וקטור במרחב.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $F$עם בסיס $v$ בגודל $n$. המספר $n$ נקרא המימד של $V$ ומסומן: $\dim(V)$.

כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים $\ \dim _{F}(V)$, ולפעמים גם $\ [V\!:\!F]$.

הסבר

המימד מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, המימד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית. למימד מהאלגברה הליניארית יש הכללות לתחומים נוספים במתמטיקה.

תכונות

כאשר המרחב הווקטורי נפרש על ידי קבוצה סופית של איברים, המימד שלו מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא:

• כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו מימד סופי מעל אותו שדה הם איזומורפיים זה לזה.
• המרחב היחיד ממימד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד.
• אם $V$ מרחב וקטורי ממימד סופי ו-$U$ תת-מרחב של $V$ ומתקיים $\dim(V)=\dim(U)$ אז $V=U$. כלומר, תת־מרחב מאותו מימד של המרחב המקורי, שווה למימד המקורי.
• המימד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום המימדים.
• המימד של המכפלה הטנזורית שווה למכפלת המימדים.
• המימד של מרחב ההעתקות הליניאריות $\operatorname {Hom} (U,V)$ שווה למכפלת המימדים של המרחבים המעורבים.
• המימד של מרחב הווקטורים $F^{n}$ שווה ל-$n$, והמימד של אלגברת המטריצות $\operatorname {M} _{n}(F)$ הוא $\ n^{2}$.

משפטים

משפט הממדים קושר את המימד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם $\ U,U'\subseteq V$, אז $\dim(U+U')=\dim(U)+\dim(U')-\dim(U\cap U')$. זאת בהתאם לעיקרון ההכלה וההדחה.

אם $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $K$ שיש לו תת-שדה $F$, אז $K$ מרחב וקטורי מעל $F$, והמימדים מקיימים $\dim _{F}(V)=[K\!:\!F]\dim _{K}(V)$. בפרט, אם $\ F\subseteq K\subseteq L$ שדות, אז $\ [L\!:\!F]=[L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]$. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק מספר תשובות לבעיות מפורסמות של ימי קדם, למשל: אי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את השורש השביעי של היחידה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ממד בוויקישיתוף

• ד"ר עליזה מלק – הגדרה של בסיס ומימד, סרטון בערוץ "ב"הטכניון מלמדים"", באתר יוטיוב (אורך: 17:04)