מסילה גאודזית

בגאומטריה דיפרנציאלית, מסילה גאודזית ביריעת רימן היא מסילה המתארת באופן מקומי את הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב. זוהי הכללה של מושג הקו הישר מהגאומטריה האוקלידית ליריעות כלליות. למשל, על פני הכדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.

על פי תורת היחסות הכללית, גופים שלא פועלים עליהם כוחות מלבד כוח הכבידה, נעים בממוצע על פני מסילות גאודזיות במרחב-זמן.

אם מוגדרת מטריקה דיפרנציאלית על המרחב האפיני, למשל באמצעות סמלי כריסטופל, המסילות הגאודזיות מקיימות את המשוואה הדיפרנציאלית הנובעת מן העובדה שהווקטור המשיק שלהן מקביל לעצמו לאחר טרנספורט מקבילי לאורך העקום. ניתן גם למצוא את המסילה הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי חשבון וריאציות.

אפיון

אם חרק מוצב על טורוס ומתמיד בתנועתו "קדימה" (כלומר לא מבצע פניות), הוא יתווה מסילה גאודזית.

במסגרת הגאומטריה הדיפרנציאלית, למושג המסילה הגאודזית כמה הגדרות שקולות:

מסילה גאודזית היא עקומה שמזערת את המרחק בין שתי נקודות כשהוא נמדד על פניו של משטח מסוים. אינטואיטיבית, אילו היינו מותחים רצועה אלסטית דקיקה בין שתי נקודות על משטח באופן כזה שהרצועה נחה כולו בתוכו, אז היא הייתה מקבלת את צורת המסילה הגאודזית בין שתי נקודות (שכן הרצועה שואפת למזער את האנרגיה והאורך שלה). עם זאת, חשוב להדגיש שמנקודת המבט של הגאומטריה הדיפרנציאלית המודרנית, ההגדרה המקובלת יותר היא של עקומה קצרה ביותר באופן מקומי, שכן קיימים משטחים מיוחדים (עם נקודות/עקומות סינגולריות, או שחותכים את עצמם) שעליהם מסילה גאודזית אינה בהכרח המסלול הקצר ביותר באופן גלובלי.
עקומה ${\vec {\gamma }}(t)$ על משטח S תיקרא מסילה גיאודזית אם בכל נקודה עליה וקטור התאוצה ${\ddot {{\vec {\gamma }}(t)}}$ הוא וקטור האפס או מקביל לווקטור היחידה הנורמלי למשטח ${\hat {\mathbf {n}}}$ . הגדרה "מכניסטית" זאת שקולה לדרך שבה יוהאן ברנולי אפיין לראשונה ב-1697 מסילות גאודזיות על משטח עקום כללי: אם מסתכלים לרגע על מסילה גאודזית $\gamma$ של משטח S כעקומה מרחבית (ללא התייחסות למשטח המכיל אותה) אז המישור הנושק ל- $\gamma$ (המישור המכיל את המעגל הנושק לה) חייב להיות מאונך למישור המשיק למשטח בכל נקודה במסילה. תחת הגדרה זאת קל להבין מדוע רק מעגלים גדולים הם הגאודזות של הספירה - המישור הנושק למסילה חייב להיות ניצב למישור המשיק לספירה, ולכן הוא חייב להכיל את הנורמל לספירה ולעבור דרך מרכזה - והרי מישור העובר דרך מרכז הספירה בהכרח חותך ממנה מעגל גדול.
הגדרה פיזיקלית: אם נקבע חלקיק נקודתי לפני השטח של משטח עקום מסוים, כך שלא פועלים עליו שום כוחות למעט הכוחות הנורמליים למשטח המקבעים את החלקיק, ונקנה לחלקיק מהירות התחלתית מסוימת, אז החלקיק ינוע במסילה גאודזית לאורך המשטח. הגדרה זו זהה להגדרה הקודמת, שכן לפי החוק השני של ניוטון התאוצה של החלקיק מקבילה לכוח שפועל עליו, ומכיוון שרק כוחות נורמליים פועלים וקטור התאוצה של החלקיק בעקומה בה הוא נע מקביל לנורמל למשטח.
מסילה גאודזית היא עקומה שהעקמומיות הגאודזית שלה $\kappa _{g}$ מתאפסת בכל נקודה.

מסילה גאודזית במרחב עקום

ביריעה רימנית עם טנזור מטרי $g$ , האורך של מסילה גזירה ברציפות $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ מוגדר על ידי

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,\mathrm {d} t.

המרחק $d(p,q)$ בין שתי נקודות $p,q$ ב- $M$ מוגדר כאינפימום של כל אורכי המסילות האפשריות הגזירות ברציפות למקוטעין $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ כך ש- $\gamma (a)=p$ ו- $\gamma (b)=q$ .