משוואה ליניארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת: $\ \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=b$. משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים". פתרון של המשוואה הוא n-יה $\ {a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ כך שהצבת הערכים המספריים $\ a_{i}$ במקום הנעלמים $\ x_{i}$ תניב את השוויון המבוקש. האיברים $\ x_{i}$ נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים $\ \alpha _{i}$ נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר.

תיאור קו ישר במישור

מערכת צירים קרטזית במישור

איור של קו ישר (פונקציה ליניארית)

איור הממחיש את הגדרת השיפוע של קו ישר

רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.

קו ישר במישור ניתן לתאר במספר דרכים. הצורה הכללית היא

$ax+by=c$.

אם a=0 וב-$b\neq 0$ אז מקבלים קו ישר מקביל לציר x,

$y={\frac {c}{b}}$.

אם b=0 ו-$a\neq 0$ מקבלים קו ישר מקביל לציר y,

$x={\frac {c}{a}}$.

אם $a=b=0$ המשוואה לא מתארת קו ישר. אם גם c=0 אזי כל (x,y) הוא פתרון, אך אם $c\neq 0$ למערכת אין פתרון. הכללה של מקרה נחקרת באלגברה ליניארית ופתרון מערכת משוואות ליניאריות.

האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא

$y=mx+n$

כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור x=0 מקבלים y=n). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan \theta$

כאשר $\theta$ היא הזווית בין הישר לציר ה-x.

משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי

$y-b=m\cdot (x-a)$

או באופן שקול

$y=mx+b-am$.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות $(a_{1},b_{1})\,\ (a_{2},b_{2})$ (בהנחה ש-$a_{1}\neq a_{2}$, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא

$y={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{2})+b_{2}={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}\cdot x-a_{2}{\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+b_{2}$.

פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת $a=a_{2},b=b_{2}$ והשיפוע m שנתון על ידי

$m={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}$.

הצבת כל אלה תיתן

$y-b_{2}={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}\cdot (x-a_{2})$

ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.

ישר במרחב וקטורי כללי

במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו ${\vec {v}},{\vec {u}}\in V$ שני וקטורים כאשר ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$:
ישר שכיוונו ${\vec {v}}$ העובר דרך הנקודה ${\vec {u}}$ ("ישר אפיני") מתואר על ידי

$\{{\vec {u}}+t{\vec {v}}\mid t\in F\}$.

ישר העובר דרך הראשית (${\vec {u}}={\vec {0}}$) מתואר בפשטות על ידי

$\mathrm {Span} _{F}\{{\vec {v}}\}=\{t{\vec {v}}\mid t\in F\}$.

הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$

$L=\{{\vec {v}}_{1}t+(1-t){\vec {v}}_{2}|t\in F\}=\{{\vec {v}}_{2}+t({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})\mid t\in F\}$.

מערכת משוואות ליניאריות

ערך מורחב – מערכת משוואות ליניאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

$\ \alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+...+\alpha _{1n}x_{n}=b_{1}$

$\ \alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+...+\alpha _{2n}x_{n}=b_{2}$

    :

    :

$\ \alpha _{m1}x_{1}+\alpha _{m2}x_{2}+...+\alpha _{mn}x_{n}=b_{m}$

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה $\ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}=0$ תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

הצגה באמצעות מטריצות

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה ${\vec {x}}$ מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר $\ m\times n$ ואילו m-ית המקדמים החופשיים ${\vec {b}}$ מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: $\ A{\vec {x}}={\vec {b}}$. באופן מפורש:

${\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m1}&\cdots &\alpha _{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית ליניארית

קישורים חיצוניים

• מבוא לאלגברה ליניארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
• משוואה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)